Hvis et polynomium kun har én ubestemt størrelse (univariat polynomium), skrives termerne normalt enten fra højeste grad til laveste grad (“nedadgående potenser”) eller fra laveste grad til højeste grad (“opadgående potenser”). Et univariat polynomium i x af grad n har så den generelle form, der er vist ovenfor, hvor

cn ≠ 0, cn-1, …, c2, c1 og c0

er konstanter, polynomiets koefficienter.

Her kaldes udtrykket cnxn for det ledende udtryk, og dets koefficient cn for den ledende koefficient; hvis den ledende koefficient er 1, kaldes det univariate polynomium for monisk.

EksemplerRediger

• Komplekse kvadratiske polynomier

EgenskaberRediger

Multiplikativt lukketRediger

Mængden af alle moniske polynomier (over en given (unitær) ring A og for en given variabel x) er lukket under multiplikation, idet produktet af de ledende termer af to moniske polynomier er den ledende term af deres produkt. De moniske polynomier danner således en multiplikativ semigruppe af polynomialringen A. Da det konstante polynomium 1 er monisk, er denne semigruppe endda en monoide.

Partielt ordnetRediger

Restriktionen af delbarhedsrelationen til mængden af alle moniske polynomier (over den givne ring) er en partiel orden, og gør således denne mængde til en poset. Årsagen er, at hvis p(x) dividerer q(x) og q(x) dividerer p(x) for to moniske polynomier p og q, så må p og q være lige store. Den tilsvarende egenskab gælder ikke for polynomier generelt, hvis ringen indeholder andre invertible elementer end 1.

Løsninger af polynomielle ligningerRediger

I andre henseender afhænger egenskaberne ved moniske polynomier og deres tilsvarende moniske polynomielle ligninger afgørende af koefficientringen A. Hvis A er et felt, så har ethvert polynomium p, der ikke er nul, præcis ét tilknyttet monisk polynomium q: p divideret med sin ledende koefficient. På denne måde kan enhver ikke-triviel polynomiel ligning p(x) = 0 erstattes af en tilsvarende monisk ligning q(x) = 0. F.eks. kan den generelle reelle andengradsligning

a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}

(hvor a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}

)

må erstattes af

x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle \ x^{2}+px+q=0}

,

ved at erstatte p = b/a og q = c/a. Dermed er ligningen

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle 2x^{2}+3x+1=0}

er ækvivalent med den moniske ligning

x 2 + 3 2 2 x + 1 2 = 0. {\displaystyle x^{2}+{\frac {3}{2}}}}x+{\frac {1}{2}}}=0.}

Den generelle kvadratiske løsningsformel er så den lidt mere forenklede form af:

x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) . {\displaystyle x={\frac {1}{2}}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right).}

IntegralityEdit

På den anden side, hvis koefficientringen ikke er et felt, er der flere væsentlige forskelle. F.eks. kan en monisk polynomiel ligning med heltalskoefficienter ikke have rationelle løsninger, som ikke er heltal. Således er ligningen

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle \ 2x^{2}+3x+1=0}

kan muligvis have en rationel rod, som ikke er et helt tal (og i øvrigt er en af dens rødder -1/2); mens ligningerne

x 2 + 5 x + 6 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+5x+6=0}

og

x 2 + 7 x + 8 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+7x+8=0}

kan kun have heltalsløsninger eller irrationelle løsninger.

Rødderne af moniske polynomier med heltals koefficienter kaldes algebraiske heltal.

Løsningerne til moniske polynomiske ligninger over et integralområde er vigtige i teorien om integrale udvidelser og integralt lukkede områder og dermed for algebraisk talteori. Generelt antages det, at A er et integraldomæne og også en underring af integraldomænet B. Betragt delmængden C af B, der består af de B-elementer, som opfylder moniske polynomielle ligninger over A:

C := { b ∈ B : ∃ p ( x ) ∈ A , som er monisk og sådan, at p ( b ) = 0 } . {\displaystyle C:=\{b\i B:\existerer \,p(x)\i A\,,{\hbox{ som er monisk og sådan at }}}p(b)=0\}\,.}

Mængden C indeholder A, da enhver a ∈ A opfylder ligningen x – a = 0. Desuden er det muligt at bevise, at C er lukket under addition og multiplikation. Således er C en underring af B. Ringen C kaldes den af A i B; eller blot den integrale lukning af A, hvis B er brøkfeltet af A; og elementerne i C siges at være integrale over A. Hvis her A = Z {\displaystyle A=\mathbb {Z} }

(ringen af hele tal) og B = C {\displaystyle B=\mathbb {C} }

(feltet af komplekse tal), så er C en ring af algebraiske hele tal.

IrreduciblityEdit

Hvis p er et primtal, er antallet af moniske irreducible polynomier af grad n over et endeligt felt G F ( p ) {\displaystyle \mathrm {GF} (p)}

med p elementer er lig med halskæde-tællingsfunktionen N p ( n ) {\displaystyle N_{p}(n)}

.

Hvis man fjerner begrænsningen om at være monisk, bliver dette tal ( p – 1 ) N p ( n ) {\displaystyle (p-1)N_{p}(n)}