Metrisk rum, i matematik, især topologi, et abstrakt sæt med en afstandsfunktion, kaldet en metrik, der angiver en ikke-negativ afstand mellem to af dets punkter på en sådan måde, at følgende egenskaber er gældende: (1) afstanden fra det første punkt til det andet er lig nul, hvis og kun hvis punkterne er ens, (2) afstanden fra det første punkt til det andet er lig med afstanden fra det andet til det første, og (3) summen af afstanden fra det første punkt til det andet og afstanden fra det andet punkt til et tredje er større end eller lig med afstanden fra det første punkt til det tredje. Den sidste af disse egenskaber kaldes trekantsulighed. Den franske matematiker Maurice Fréchet indledte studiet af metriske rum i 1905.

Den sædvanlige afstandsfunktion på den reelle tallinje er en metrisk funktion, ligesom den sædvanlige afstandsfunktion i det euklidiske n-dimensionale rum er en metrisk funktion. Der findes også mere eksotiske eksempler af interesse for matematikere. Givet et vilkårligt sæt af punkter angiver den diskrete metrik, at afstanden fra et punkt til sig selv er lig med 0, mens afstanden mellem to forskellige punkter er lig med 1. Den såkaldte taxicab-metrik i det euklidiske plan angiver afstanden fra et punkt (x, y) til et punkt (z, w) som værende |x – z| + |y – w|. Denne “taxicab-afstand” giver den mindste længde af en sti fra (x, y) til (z, w), der er konstrueret af vandrette og lodrette linjestykker. I analysen findes der flere nyttige metrikker på mængder af afgrænsede reelt værdifulde kontinuerte eller integrerbare funktioner.

Sådan generaliserer en metrik begrebet sædvanlig afstand til mere generelle sammenhænge. Desuden bestemmer en metrik på en mængde X en samling af åbne mængder, eller topologi, på X, når en delmængde U af X erklæres for åben, hvis og kun hvis der for hvert punkt p i X er en positiv (eventuelt meget lille) afstand r, således at mængden af alle punkter i X med en afstand mindre end r fra p er fuldstændig indeholdt i U. På denne måde udgør metriske rum vigtige eksempler på topologiske rum.

Et metrisk rum siges at være komplet, hvis enhver sekvens af punkter, hvor termerne i sidste ende er parvis vilkårligt tæt på hinanden (en såkaldt Cauchy-sekvens) konvergerer til et punkt i det metriske rum. Den sædvanlige metrik på de rationelle tal er ikke komplet, da nogle Cauchy-sekvenser af rationelle tal ikke konvergerer til rationelle tal. F.eks. konvergerer den rationelle talrække 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, … til π, som ikke er et rationelt tal. Den sædvanlige metrik på de reelle tal er imidlertid fuldstændig, og desuden er ethvert reelt tal grænsen af en Cauchy-sekvens af rationelle tal. I denne forstand udgør de reelle tal en komplettering af de rationelle tal. Beviset for denne kendsgerning, der blev givet i 1914 af den tyske matematiker Felix Hausdorff, kan generaliseres til at vise, at ethvert metrisk rum har en sådan færdiggørelse.