Biografi

Leopold Kroneckers forældre var velhavende, idet hans far, Isidor Kronecker, var en succesfuld forretningsmand, mens hans mor var Johanna Prausnitzer, der også kom fra en velhavende familie. Familierne var jøder, den religion, som Kronecker holdt fast ved indtil et år før sin død, hvor han konverterede til kristendommen. Kroneckers forældre ansatte private tutorer til at undervise ham op til det stadie, hvor han kom ind på gymnasiet i Liegnitz, og denne tutoring gav ham et meget solidt grundlag for sin uddannelse.
Kronecker blev undervist i matematik på Liegnitz Gymnasium af Kummer, og det var på grund af Kummer, at Kronecker begyndte at interessere sig for matematik. Kummer anerkendte straks Kroneckers talent for matematik, og han tog ham langt ud over det, der kunne forventes i skolen, og opfordrede ham til at forske. Trods sin jødiske opvækst fik Kronecker luthersk religionsundervisning på gymnasiet, hvilket bestemt viser, at hans forældre var åbne over for religiøse spørgsmål.
Kronecker blev student ved Berlins universitet i 1841, og her studerede han under Dirichlet og Steiner. Han begrænsede sig dog ikke til at studere matematik, for han studerede også andre emner som astronomi, meteorologi og kemi. Han var især interesseret i filosofi og studerede filosofiske værker af Descartes, Leibniz, Kant, Spinoza og Hegel. Efter at have tilbragt sommeren 1843 på universitetet i Bonn, som han gik til på grund af sin interesse for astronomi snarere end matematik, gik han derefter til universitetet i Breslau i vinterhalvåret 1843-44. Grunden til, at han tog til Breslau, var helt sikkert på grund af hans interesse for matematik, fordi han ønskede at studere igen med sin gamle skolelærer Kummer, der var blevet udnævnt til en stol i Breslau i 1842.
Kronecker tilbragte et år i Breslau, før han vendte tilbage til Berlin for vintersemesteret 1844-45. Tilbage i Berlin arbejdede han på sin doktordisputats om algebraisk talteori under Dirichlets vejledning. Afhandlingen, On complex units blev indsendt den 30. juli 1845, og han tog den nødvendige mundtlige eksamen den 14. august. Dirichlet kommenterede afhandlingen og sagde, at Kronecker i den viste:-

… usædvanlig indtrængen, stor ihærdighed og et nøjagtigt kendskab til den nuværende tilstand i den højere matematik.

Det kan komme som en overraskelse for mange ph.d.’er. studerende at høre, at Kronecker blev udspurgt ved sin mundtlighed om en lang række emner, herunder sandsynlighedsteori anvendt på astronomiske observationer, teorien om bestemte integraler, serier og differentialligninger, samt om græsk og filosofiens historie.

Jacobi havde helbredsproblemer, som fik ham til at forlade Königsberg, hvor han havde en stol, og vende tilbage til Berlin. Eisenstein, hvis helbred også var dårligt, holdt forelæsninger i Berlin omkring dette tidspunkt, og Kronecker lærte begge mænd godt at kende. Den retning, som Kroneckers matematiske interesser senere gik, havde meget at gøre med indflydelsen fra Jacobi og Eisenstein omkring denne tid. Men netop som det så ud til, at han ville gå i gang med en akademisk karriere, forlod Kronecker Berlin for at tage sig af familieanliggender. Han hjalp med at lede sin mors brors bankforretning, og i 1848 giftede han sig med denne onkels datter, Fanny Prausnitzer. Han forvaltede også et familieejendom, men fandt stadig tid til at fortsætte med at arbejde med matematik, selv om han gjorde det udelukkende for sin egen fornøjelses skyld.
Sikkert var det, at Kronecker ikke havde behov for at tage et lønnet arbejde, da han nu var en velhavende mand. Hans glæde ved matematikken betød imidlertid, at da omstændighederne ændrede sig i 1855, og han ikke længere havde behov for at bo på godset uden for Liegnitz, vendte han tilbage til Berlin. Han ønskede ikke en universitetsstilling, han ønskede snarere at deltage i det matematiske liv på universitetet og foretage forskning i samspil med de andre matematikere.
I 1855 kom Kummer til Berlin for at udfylde den ledige stilling, der opstod, da Dirichlet rejste til Göttingen. Borchardt havde holdt forelæsninger i Berlin siden 1848, og i slutningen af 1855 overtog han redaktionen af Crelle’s Journal ved Crelles død. I 1856 kom Weierstrass til Berlin, så inden for et år efter Kroneckers tilbagevenden til Berlin var det bemærkelsesværdige team bestående af Kummer, Borchardt, Weierstrass og Kronecker på plads i Berlin.
Da Kronecker naturligvis ikke havde en universitetsansættelse, holdt han ikke forelæsninger på dette tidspunkt, men var bemærkelsesværdigt aktiv inden for forskning og udgav en lang række værker i hurtig rækkefølge. Disse var om talteori, elliptiske funktioner og algebra, men endnu vigtigere var det, at han udforskede sammenhængen mellem disse emner. Kummer foreslog Kronecker til valg til Akademiet i Berlin i 1860, og forslaget blev støttet af Borchardt og Weierstrass. Den 23. januar 1861 blev Kronecker valgt ind i Akademiet, og det havde en overraskende fordel:
Medlemmer af Berlin-akademiet havde ret til at holde forelæsninger på Berlins universitet. Selv om Kronecker ikke var ansat ved universitetet, eller nogen anden organisation for den sags skyld, foreslog Kummer, at Kronecker skulle udøve sin ret til at holde foredrag ved universitetet, og det gjorde han fra oktober 1862. De emner, som han forelæste om, var i høj grad relateret til hans forskning: talteori, teori om ligninger, teori om determinanter og teori om integraler. I sine forelæsninger :-

Han forsøgte at forenkle og forfine eksisterende teorier og at præsentere dem fra nye perspektiver.

For de bedste studerende var hans forelæsninger krævende, men stimulerende. Han var dog ikke en populær lærer hos de gennemsnitlige studerende :-

Kronecker tiltrak ikke et stort antal studerende. Kun få af hans tilhørere var i stand til at følge med i hans tankers flyvninger, og kun få holdt ud til semesterets afslutning.

Berlin var attraktivt for Kronecker, så meget, at da han i 1868 blev tilbudt lærestolen i matematik i Göttingen, afslog han den. Han accepterede dog hædersbevisninger som valg til Paris-akademiet i samme år, og i mange år havde han gode forbindelser med sine kolleger i Berlin og andre steder. For at forstå, hvorfor forholdet begyndte at forværres i 1870’erne, må vi undersøge Kroneckers matematiske bidrag nærmere.
Vi har allerede antydet, at Kroneckers primære bidrag var inden for ligningsteori og højere algebra, med hans vigtigste bidrag inden for elliptiske funktioner, teorien om algebraiske ligninger og teorien om algebraiske tal. Men de emner, han studerede, blev begrænset af det faktum, at han troede på reduktionen af al matematik til argumenter, der kun involverer de hele tal og et endeligt antal trin. Kronecker er kendt for sin bemærkning:

Gud skabte de hele tal, alt andet er menneskets værk.

Kronecker mente, at matematikken kun skulle beskæftige sig med endeløse tal og med et endeligt antal operationer. Han var den første til at betvivle betydningen af ikke-konstruktive eksistensbeviser. Det fremgår, at Kronecker fra begyndelsen af 1870’erne var modstander af brugen af irrationelle tal, øvre og nedre grænser og Bolzano-Weierstrass-sætningen på grund af deres ikke-konstruktive karakter. En anden konsekvens af hans matematiske filosofi var, at for Kronecker kunne transcendentale tal ikke eksistere.
I 1870 offentliggjorde Heine en artikel Om trigonometriske serier i Crelle’s Journal, men Kronecker havde forsøgt at overtale Heine til at trække artiklen tilbage. Igen i 1877 forsøgte Kronecker at forhindre offentliggørelsen af Cantors arbejde i Crelle’s Journal, ikke på grund af personlige følelser mod Cantor (hvilket er blevet antydet af nogle biografer af Cantor), men snarere fordi Kronecker mente, at Cantors papir var meningsløst, da det beviste resultater om matematiske objekter, som Kronecker mente ikke eksisterede. Kronecker var med i redaktionen af Crelle’s Journal, hvorfor han havde en særlig stærk indflydelse på, hvad der blev offentliggjort i dette tidsskrift. Efter Borchardts død i 1880 overtog Kronecker kontrollen med Crelle’s Journal som redaktør, og hans indflydelse på, hvilke artikler der ville blive publiceret, øgedes.

Det matematiske seminar i Berlin var i 1861 blevet grundlagt i fællesskab af Kummer og Weierstrass, og da Kummer gik på pension i 1883, blev Kronecker meddirektør for seminaret. Dette øgede Kroneckers indflydelse i Berlin. Kroneckers internationale berømmelse bredte sig også, og han blev hædret ved at blive valgt som udenlandsk medlem af Royal Society of London den 31. januar 1884. Han var også en meget indflydelsesrig person inden for tysk matematik :-

Han etablerede andre kontakter med udenlandske videnskabsmænd ved talrige rejser til udlandet og ved at tilbyde dem gæstfrihed i sit hjem i Berlin. Af denne grund blev hans råd ofte bedt om i forbindelse med besættelse af matematiske professorater både i Tyskland og andre steder; hans anbefalinger var sandsynligvis lige så betydningsfulde som hans tidligere ven Weierstrass’.

Selv om Kroneckers syn på matematik var velkendt af sine kolleger i løbet af 1870’erne og 1880’erne, var det først i 1886, at han offentliggjorde disse synspunkter. I det år argumenterede han mod teorien om irrationale tal, som Dedekind, Cantor og Heine brugte, og gav de argumenter, hvormed han modsatte sig:-

… indførelsen af forskellige begreber, ved hjælp af hvilke man i nyere tid (men først af Heine) ofte har forsøgt at opfatte og fastslå “irrationale tal” i almindelighed. Selv begrebet om en uendelig serie, f.eks. en serie, der vokser i henhold til bestemte potenser af variabler, er efter min mening kun tilladt med det forbehold, at man i hvert enkelt specialtilfælde på grundlag af de aritmetiske love for konstruktion af termer (eller koefficienter) … skal visse forudsætninger vises at holde, som gælder for serierne som finitte udtryk, og som således gør udvidelsen ud over begrebet finite serier virkelig unødvendig.

Lindemann havde bevist, at π er transcendentalt i 1882, og i et foredrag i 1886 komplimenterede Kronecker Lindemann for et smukt bevis, men, hævdede han, et bevis, der intet beviste, da transcendentale tal ikke eksisterede. Kronecker var altså konsekvent i sine argumenter og sin overbevisning, men mange matematikere, der var stolte af deres hårdt optjente resultater, følte, at Kronecker forsøgte at ændre matematikkens kurs og skrive deres forskningslinje ud af den fremtidige udvikling. Kronecker forklarede sit program baseret på kun at studere matematiske objekter, der kunne konstrueres med et endeligt antal operationer ud fra de hele tal i Über den Zahlbergriff Ⓣ i 1887.
Et andet træk ved Kroneckers personlighed var, at han havde en tendens til at blive personligt uvenner med dem, som han var uenig med matematisk set. I betragtning af hans tro på, at der kun fandtes endeligt konstruerbare matematiske objekter, var han naturligvis fuldstændig modstander af Cantors udviklende ideer inden for mængdelære. Ikke kun Dedekind, Heine og Cantors matematik var uacceptabel for denne tankegang, og Weierstrass kom også til at føle, at Kronecker forsøgte at overbevise den næste generation af matematikere om, at Weierstrass’ arbejde med analyse var uden værdi.
Kronecker havde ingen officiel stilling i Berlin, indtil Kummer gik på pension i 1883, hvor han blev udnævnt til professor. Men i 1888 følte Weierstrass, at han ikke længere kunne arbejde sammen med Kronecker i Berlin og besluttede at tage til Schweiz, men da han så indså, at Kronecker ville være i en stærk position til at påvirke valget af hans efterfølger, besluttede han at blive i Berlin.
Kronecker var af meget lille statur og ekstremt selvbevidst om sin højde. Et eksempel på, hvordan Kronecker reagerede, fandt sted i 1885, da Schwarz sendte ham en hilsen, der indeholdt sætningen:

Den, der ikke ærer den Lille, er ikke værdig til den Store.

Her spøgte Schwarz med den lille mand Kronecker og den store Weierstrass. Kronecker så dog ikke den sjove side af bemærkningen og havde aldrig mere noget med Schwarz (som var Weierstrass’ elev og Kummers svigersøn) at gøre. Andre udviste imidlertid mere takt, og f.eks. lykkedes det Helmholtz, der var professor i Berlin fra 1871, at holde sig på god fod med Kronecker.
De Deutsche Mathematiker-Vereinigung blev oprettet i 1890, og det første møde i foreningen blev afholdt i Halle i september 1891. På trods af det bitre modsætningsforhold mellem Cantor og Kronecker inviterede Cantor Kronecker til at tale på dette første møde som et tegn på respekt for en af de ældste og mest fremtrædende personer i den tyske matematik. Kronecker talte dog aldrig til mødet, da hans kone blev alvorligt kvæstet ved en klatreulykke i sommerens løb og døde den 23. august 1891. Kronecker overlevede kun sin kone med få måneder og døde i december 1891.
Vi skal ikke tro, at Kroneckers syn på matematikken var helt excentrisk. Selv om det var rigtigt, at de fleste matematikere på hans tid ikke ville være enige i disse synspunkter, og faktisk ville de fleste matematikere i dag heller ikke være enige i dem, blev de ikke lagt til side. Kroneckers ideer blev videreudviklet af Poincaré og Brouwer, som lagde særlig vægt på intuition. Intuitionismen understreger, at matematikken har prioritet over logikken, at matematikkens objekter konstrueres og opereres i hovedet af matematikeren, og at det er umuligt at definere egenskaberne ved matematiske objekter blot ved at opstille en række aksiomer.