Når rumfartøjet New Horizons nærmer sig Pluto, får det nogle fantastiske billeder. Animationen nedenfor viser Pluto og Charon, mens de kredser om hinanden.
Når en planet (eller dværgplanet) har en satellit, kan man bruge bevægelsen af dette objekt til at finde planetens masse. Det er ikke særlig svært. Lad os faktisk bruge animationen ovenfor til at estimere Plutos masse. Ok, der er bare én ting, vi har brug for, som ikke er med i videoen. Vi har brug for at kende afstanden fra Charon til Pluto. Faktisk kunne jeg, hvis jeg kendte kameraets synsfelt, få den orbitale afstand ud fra den vinkelmæssige afstand mellem de to objekter. Men i dette eksempel vil jeg bare slå denne værdi op og bruge en Pluto-Charon-afstand på 1,957 x 107 m.
Også et par andre noter om denne Pluto-Charon-video.
- Sekvensen af billeder viser Pluto og Charon, mens rumfartøjet nærmer sig de to objekter. Det betyder, at afstandsskalaen ændrer sig i hvert enkelt billede.
- Denne video er relativ til massecentret i Charon-Pluto-omløbet. Man kan se, at både Pluto og Charon kredser om et fælles centrum.
- Vi ser ikke banebanen fra en helt vinkelret vinkel. Det betyder, at Charon ikke ser ud til at bevæge sig i en cirkel (selv om det i bund og grund er tilfældet).
Grundlæggende fysik
Der er egentlig kun to fysikprincipper, vi har brug for til dette problem – gravitationskraften og accelerationen for et objekt, der bevæger sig i en cirkel. Lad os starte med tyngdekraften.
Modellen for den gravitationelle vekselvirkning siger, at der er en tiltrækkende for trækker på objekter med masse. Størrelsen af denne kraft er proportional med produktet af masserne af de to objekter, der vekselvirker, og omvendt proportional med kvadratet på afstanden mellem objekterne. Jeg kan skrive størrelsen af denne kraft som:
G er bare en konstant, så det skal du ikke bekymre dig om. Men der er en ting mere, som er vigtig. Gravitationskraften trækker altid de to objekter sammen og er i retning af det andet objekt.
Den anden vigtige idé er at overveje accelerationen for et objekt, der bevæger sig i en cirkel – ja, både Pluto og Charon bevæger sig i en cirkel om et fælles centrum. Her er et diagram (men ikke i skala).
Alle objekter, der bevæger sig i en cirkel (selv med en konstant hastighed), vil accelerere. Retningen af denne acceleration vil pege mod cirklens centrum, og den vil have en størrelse, der afhænger af både vinkelhastigheden og cirklens radius. Denne acceleration kan skrives som:
Her er ω genstandens vinkelhastighed i radianer pr. sekund. Men der er vel en fysik-ting mere at kigge på: forholdet mellem kraft og acceleration. Simpelthen: Jo større nettokraft der er på et objekt, jo større er accelerationen.
Nu skal vi sætte det hele sammen. Kraften er tyngdekraften, og accelerationen skyldes den cirkulære bevægelse. Der er en hage ved det. Hvis jeg skriver dette ud for Charons bevægelse, så vil gravitationskraften bruge afstanden fra Charon til Pluto, men accelerationen vil bruge afstanden fra Charon til centrum for den roterende bevægelse. For at gøre det klart, vil jeg kalde afstanden mellem objekterne r, og radius af Charons cirkulære bane vil være rc. Da gravitationskraften (den eneste kraft) desuden er i samme retning som accelerationen, kan jeg skrive dette som en skalarlig ligning:
Charons masse ophæver sig, og jeg kan derfor løse for Plutos masse.
Så alt hvad jeg skal bruge er de to afstande og vinkelhastigheden i Charons bane.
Find værdier
Jeg har allerede sagt, at jeg ville slå afstanden fra Pluto til Charon op. Jeg har dog brug for afstanden fra Charon til centrum af kredsløbets centrum. Ved at springe igennem animationens billeder kan jeg finde det billede, der viser Charon og Pluto længst fra hinanden – det er på dette tidspunkt, at jeg kan se banens fulde størrelse (ingen perspektiv). Ved hjælp af dette billede og afstanden fra Pluto til Charon får jeg en cirkulær bane radius på 1,69 x 107 m.
Nu mangler jeg bare banens vinkelhastighed. Hvis jeg vælger en ramme med Charon næsten over Pluto og derefter, når den er næsten under Pluto, vil det være en halv bane. Hvis man ser på tidsstemplerne på hver frame, ville det give en tid på ca. 3,2 dage (276.480 sekunder). Det ville sætte vinkelhastigheden til:
Med en gravitationskonstant på G = 6,67 x 10-11 N*m2/kg2 kan jeg sætte alle mine værdier ind for at beregne massen. Når jeg knuser tallene, får jeg en masse af Pluto på 1,24 x 1022 kg. BOOM. Dette er ret tæt på den værdi, der er anført på 22Wikipedia med en værdi på 1,3 x 1022. Jeg anser dette for at være tæt nok på til at tælle som en sejr.
Hvad med Charons masse? Du kan bruge den samme idé og den orbitale afstand for Plutos bane og få et masseestimat. Det er en hjemmeopgave til dig.
Numerisk model
Just for sjov er her en numerisk model, der viser Plutos og Charons bevægelse.
Overstående kode er på trinket.io. Det betyder, at du både kan se på koden OG ændre koden. Prøv at ændre planeternes masse og se, hvad der sker. Læg mærke til, at hvis de to planeters indledende momentum ikke summerer op til nulvektoren, forbliver massecentret ikke stationært. Det er sjove ting.