Morrow kommer fra en ishockeyfamilie. Hans far, Dave Morrow, spillede for Indianapolis Racers i World Hockey Association.
Pittsburgh Penguins valgte Morrow i første runde (nr. 23) i NHL-draften i 2011, men han spillede aldrig en kamp for dem efter at have skrevet under den 3. august 2011.
Han spillede endnu en sæson for Portland i Western Hockey League, hvor han sluttede med 64 point (17 mål, 47 assists) i 62 kampe. Morrow tilbragte det meste af 2012-13-sæsonen hos Wilkes-Barre/Scranton i American Hockey League, inden han blev handlet til Dallas Stars den 24. marts 2013.
Den 4. juli 2013 blev Morrow købt af Boston Bruins som en del af en handel med otte spillere, der sendte angriberen Tyler Seguin til Stars. Morrow fik sin NHL-debut hos Bruins den 30. oktober 2014 og scorede sit første NHL-mål mod Penguins den 24. november 2014. Efter at have spillet yderligere tre kampe blev han dog sendt til Providence i AHL for resten af sæsonen.
Morrow spillede 33 kampe for Bruins i 2015-16 og 17 i 2016-17, inden han skrev under med Montreal Canadiens som free agent den 1. juli 2017. Han havde sin bedste offensive sæson i NHL (fem mål, seks assists) i 38 kampe, inden han blev købt af Winnipeg Jets den 26. februar 2018.
Morrow havde fem point (et mål, fire assists) i 18 kampe for Jets. Han var påklædt i seks af deres 17 kampe i Stanley Cup-slutspillet, herunder scorede han det vindende mål i kamp 1 i Western Conference First Round mod Minnesota Wild.
Jets underskrev Morrow på en etårig kontrakt den 26. juni 2018.
NOTER &TRANSAKTIONER
- WHL West First All-Star Team (2012)
- Traded til Dallas af Pittsburgh med Pittsburghs 5. rundevalg (Matej Paulovic) i NHL-draften 2013 for Brenden Morrow og Minnesotas 3. rundevalg (tidligere erhvervet, Pittsburgh valgte Jake Guentzel) i NHL-draften 2013, 24. marts 2013.
- Traded til Boston af Dallas sammen med Loui Eriksson, Reilly Smith og Matt Fraser for Tyler Seguin, Rich Peverley og Ryan Button, 4. juli 2013.
- Underskrevet som free agent af Montreal, 1. juli 2017.
- Traded til Winnipeg af Montreal for Winnipegs 4. runde valg i NHL-draften 2018, 26. februar 2018.
- Underskrevet som free agent af New Jersey, 6. oktober 2019.