Paul Cohen (1934-2007)
Paul Cohen tillhörde den nya generationen amerikanska matematiker som inspirerades av tillströmningen av europeiska flyktingar under krigsåren. Själv var han en judisk invandrare i andra generationen, men han var skrämmande intelligent och extremt ambitiös. Genom ren intelligens och viljestyrka lyckades han skaffa sig berömmelse, rikedomar och de främsta matematiska priserna.
Han utbildades i New York, Brooklyn och vid University of Chicago, innan han arbetade sig upp till en professur vid Stanford University. Han vann sedan den prestigefyllda Fields-medaljen i matematik, liksom National Medal of Science och Bôcher Memorial Prize i matematisk analys. Hans matematiska intressen var mycket breda och sträckte sig från matematisk analys och differentialekvationer till matematisk logik och talteori.
I början av 1960-talet ägnade han sig på allvar åt det första av Hilberts 23 listor över öppna problem, Cantors kontinuumshypotes, huruvida det finns en mängd tal som är större än mängden av alla naturliga (eller hela) tal, men mindre än mängden av reella (eller decimala) tal. Cantor var övertygad om att svaret var ”nej” men kunde inte bevisa det på ett tillfredsställande sätt, och det kunde inte heller någon annan som har ägnat sig åt problemet sedan dess.
En av flera alternativa formuleringar av Zermelo-Fraenkels axiom och valets axiom
En del framsteg hade gjorts sedan Cantor. Mellan ungefär 1908 och 1922 utvecklade Ernst Zermelo och Abraham Fraenkel standardformen av axiomatisk mängdteori, som kom att bli den vanligaste grunden för matematiken, känd som Zermelo-Fraenkels mängdteori (ZF, eller, som modifierad genom valfrihetens axiom, som ZFC).
Kurt Gödel visade 1940 att kontinuumshypotesen är förenlig med ZF, och att kontinuumshypotesen inte kan motbevisas utifrån standardteorin Zermelo-Fraenkel set theory, även om valfrihetsaxiomet antas. Cohens uppgift var då att visa att kontinuumshypotesen var oberoende av ZFC (eller inte), och särskilt att bevisa att valfrihetsaxiomet var oberoende.
Forcing Technique
Cohens extraordinära och djärva slutsats, som han kom fram till med hjälp av en ny teknik som han själv utvecklade och som han kallade ”forcing”, var att båda svaren kunde vara sanna, dvs. att kontinuumshypotesen och valfrihetsaxiomet var helt oberoende av ZF:s mängdteori. Det skulle alltså kunna finnas två olika, internt konsekventa matematiker: en där kontinuumshypotesen var sann (och det inte fanns någon sådan mängd tal) och en där hypotesen var falsk (och det fanns en mängd tal). Beviset verkade vara korrekt, men Cohens metoder, särskilt hans nya teknik för ”forcering”, var så nya att ingen var riktigt säker förrän Gödel slutligen gav sin stämpel för godkännande 1963.
Hans resultat var lika revolutionerande som Gödels egna. Sedan dess har matematiker byggt upp två olika matematiska världar, en där kontinuumshypotesen gäller och en där den inte gör det, och moderna matematiska bevis måste infoga ett uttalande som förklarar om resultatet beror på kontinuumshypotesen eller inte.
Cohens paradigmförändrande bevis gav honom berömmelse, rikedomar och matematiska priser i överflöd, och han blev toppprofessor på Stanford och Princeton. I sin framgång beslöt han sig för att ta sig an den moderna matematikens heliga graal, Hilberts åttonde problem, Riemannhypotesen. Det slutade dock med att han ägnade de sista 40 åren av sitt liv, fram till sin död 2007, åt problemet, fortfarande utan att få någon lösning (även om hans tillvägagångssätt har gett nytt hopp till andra, däribland hans briljanta elev Peter Sarnak).
| << Tillbaka till Weil | Framåt till Robinson och Matiyasevich >> |