Idea

Dr. von Neumann, jag vill gärna veta, vad är egentligen ett Hilbert-rum? 1

Ett Hilbert-rum är en (möjligen) oändligt dimensionell generalisering av de traditionella rummen i euklidisk geometri där begreppen avstånd och vinkel fortfarande är meningsfulla. Detta görs genom en algebraisk operation, den inre produkten, som generaliserar punktprodukten.

Hilbertrymder blev kända för världen i stort genom sina tillämpningar inom fysiken, där de organiserar de rena tillstånden i kvantsystem.

Hilbertrymder bildar en kategori, Hilb.

Se även

• en elementär behandling av Hilbertrymder.

Definitioner

Låt VV vara ett vektorrum över fältet för komplexa tal. (Man kan generalisera valet av fält något.) En inre produkt (i den mest allmänna, möjligen obestämda, betydelsen) på VV är en funktion

som är (1â3) sesquilinear och (4) konjugat-symmetrisk, dvs:

1. â¨0,xâ©=0 \langle 0, x \rangle = 0 och â¨x,0â©=0 \langle x, 0 \rangle = 0 ;
2. â¨x+y,zâ©=â¨x,zâ©+â¨y,zâ© \langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle och â¨x,y+zâ©=â¨x,yâ©+â¨x,zâ© \langle x, y + z \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle ;
3. â¨cx,yâ©=c¯â¨x,yâ© \langle c x, y \rangle = \bar{c} \langle x, y \rangle och â¨x,cyâ©=câ¨x,yâ© \langle x, c y \rangle = c \langle x, y \rangle ;
4. â¨x,yâ©=â¨y,xâ©Â¯ \langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle} .

Här använder vi fysikerns konvention att den inre produkten är konjugatlinjär i den första variabeln snarare än i den andra, snarare än matematikens konvention, som är den omvända. Fysikerns konvention passar lite bättre in i 22-Hilbert-rummen. Observera att vi använder samma fält som värden för den inre produkten som för skalärer; den komplexa konjugationen kommer att vara irrelevant för vissa val av fält.

Axiomlistan ovan är ganska överflödig. För det första följer (1) av (3) genom att ställa in c=0c = 0. Dessutom kommer (1â3) i par, varav endast ett behövs, eftersom varje halva följer av den andra med hjälp av (4). Det är till och med möjligt att härleda (3) från (2) genom att anta att VV är ett topologiskt vektorrum och att den inre produkten är kontinuerlig (vilket, som vi kommer att se, alltid är sant i alla fall för ett Hilbert-rum).

Nästa begrepp att definiera är (halv)bestämdhet. Vi definierar en funktion âââ 2:Vââ\|{-}\|^2: V \till \mathbb{C} genom âxâ 2=â¨x,xâ©\|x\||^2 = \langle x, x \rangle; i själva verket tar âââ 2\{-}\|||^2 endast reella värden, enligt (4). * Den inre produkten är positivt semidefinit, eller helt enkelt positiv, om âxâ 2â¥0\|x\|^2 \geq 0 alltid. * Observera att (enligt 1), âxâ 2=0=0\x\|^2 = 0 om x=0x = 0; den inre produkten är bestämd om det omvända gäller. * En inre produkt är positivt bestämd om den är både positiv och bestämd. * För övrigt finns det också negativa (halv)bestämda inre produkter, som är något mindre bekväma men inte riktigt annorlunda. En inre produkt är obestämd om vissa âxâ 2\|x\|^2 är positiva och vissa är negativa; dessa har en mycket annorlunda smak.

Den inre produkten är fullständig om, givet en oändlig sekvens (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) så att

det finns en (nödvändigtvis unik) summa SS så att

Om den inre produkten är bestämd måste denna summa, om den existerar, vara unik, och vi skriver

(med den högra sidan odefinierad om ingen sådan summa existerar).

Då är ett Hilbert-rum helt enkelt ett vektorrum som är försett med en fullständig positiv bestämd inre produkt.

Hilbert-rum som Banach-rum

Om en inre produkt är positiv kan vi ta den viktigaste kvadratroten av âxâ 2=â¨x,xâ©\|x\|^2 = \langle x, x \rangle för att få fram det ett reellt tal âxâ\|x\|, normen för xx.

Denna norm uppfyller alla krav på ett Banach-rum. Den uppfyller dessutom parallellogramlagen

vilket inte alla Banachrum behöver uppfylla. (Namnet på denna lag kommer från dess geometriska tolkning: Normerna på vänster sida är längden på diagonalerna i en parallellogram, medan normerna på höger sida är längden på sidorna.)

För övrigt har varje Banach-rum som satsifierar parallellogramlagen en unik inre produkt som återger normen, definierad genom

eller 12(âx+yâ 2âââxâyâ 2)\frac{1}{2}(\|x + y\|^2 – \|x – y\|^2) i det verkliga fallet.

Därmed är det möjligt att definiera ett Hilbert-rum som ett Banach-rum som uppfyller parallellogramlagen. Detta fungerar faktiskt lite mer generellt; ett positivt semidefinit inre produktrum är ett pseudonormat vektorrum som uppfyller parallellogramlagen. (Vi kan dock inte återskapa en obestämd inre produkt från en norm.)

Hilbertrymder som metriska rum

I varje positivt semidefinit inre produktrymd, låt avståndet d(x,y)d(x,y) vara

Då är dd en pseudometrisk; det är en komplett metrisk om och endast om vi har ett Hilbertrum.

I själva verket kan axiomen för ett Banach-rum (eller ett pseudonormat vektorrum) skrivas helt och hållet i termer av metriken; vi kan också ange parallellogramlagen på följande sätt:

I definitioner är det troligen vanligast att metriken införs endast för att ange fullständighetskravet. I själva verket säger (1) att sekvensen av partialsummor är en Cauchy-sekvens, medan (2) säger att sekvensen av partialsummor konvergerar mot SS.

Hilbert-rum som konforma rum

Givet två vektorer xx och yy, båda icke-noll, låt vinkeln mellan dem vara vinkeln θ(x,y)\theta(x,y) vars cosinus är

(Observera att denna vinkel kan vara imaginär i allmänhet, men inte för en Hilbertrymd över â\mathbb{R}.)

En Hilbertrymd kan dock inte rekonstrueras helt och hållet från sina vinklar (även om den underliggande vektorrymden är given). Den inre produkten kan endast återskapas upp till en positiv skalfaktor.

Morphisms of Hilbert spaces

Se diskussionen vid Banach space. Det finns mer att säga här om dualer (bland annat varför teorin om Hilbert-rum är något trevligare över â\mathbb{C} medan teorin om Banach-rum är något trevligare över â\mathbb{R}).

Exempel

Banach-rum

Alla pp-parametrerade exempel vid Banach-rum gäller om man tar p=2p=2.

I synnerhet är det nn-dimensionella vektorrummet â n\mathbb{C}^n ett komplext Hilbert-rum med

Varje delfält KK av â\mathbb{C} ger ett positivt bestämt inre produktrum K nK^n vars komplettering är antingen â n\mathbb{R}^n eller â n\mathbb{C}^n. I synnerhet är det kartesiska rummet â n\mathbb{R}^n ett verkligt Hilbert-rum; de geometriska begreppen avstånd och vinkel som definieras ovan stämmer överens med vanlig euklidisk geometri för detta exempel.

För Lebesgue-kvadratintegrerbara funktioner över en mångfald

L-hilbertrummen L 2(â)L^2(\mathbb{R}}), L 2()L^2(), L 2(â 3)L^2(\mathbb{R}^3), etc. (reella eller komplexa) är mycket välkända. I allmänhet består L 2(X)L^2(X) för XX ett måttrum av de nästan överallt definierade funktionerna ff från XX till skalarfältet (â\mathbb{R} eller â\mathbb{C}) så att â”|f| 2 \int |f|^2 konvergerar till ett ändligt antal, med funktioner som är identifierade om de är lika nästan överallt; Vi har â¨f,gâ©=â ”f¯g\langle f, g\rangle = \int \bar{f} g, som konvergerar genom CauchyâSchwarz-ojämlikheten. I de specifika fall som anges (och i allmänhet när XX är ett lokalt kompakt Hausdorff-utrymme) kan vi också få fram detta utrymme genom att komplettera det positivt bestämda inre produktutrymmet för kompakt stödda kontinuerliga funktioner.

För kvadratiskt integrerbara halvtätheter

• kanonisk Hilbertrymd av halvtätheter

Egenskaper

Baser

Ett grundläggande resultat är att Hilbertrymder abstrakt sett alla är av samma typ: Varje Hilbert-rum HH har en ortonormal bas, dvs. en delmängd SâHS \subseteq H vars inklusionskarta sträcker sig (nödvändigtvis unikt) till en isomorfism

av Hilbert-rum. Här är l 2(S)l^2(S) det vektorrum som består av de funktioner xx från SS till skalarfältet så att

konverterar till ett ändligt tal; Detta kan också erhållas genom att komplettera vektorrummet för formella linjära kombinationer av element i SS med en inre produkt som entydigt bestäms av regeln

där δ uv\delta_{u v} betecknar Kronecker delta. Vi har alltså, i l 2(S)l^2(S),

(Denna summa konvergerar genom CauchyâSchwarz-ojämlikheten.)

I allmänhet använder detta resultat valaxiomet (vanligen i form av Zorns lemma och utesluten medelpunkt) i sitt bevis, och är likvärdigt med det. Resultatet för separerbara Hilbert-rum behöver dock endast beroende val och är därför konstruktivt enligt de flesta skolors normer. Även utan beroende val kan explicita ortornormala baser för särskilda L 2(X)L^2(X) ofta framställas med hjälp av approximation av identitetsmetoderna, ofta i samverkan med en Gram-Schmidt-process.

I synnerhet är alla oändligt dimensionella separerbara Hilbertrymder abstrakt isomorfa till l 2(â)l^2(\mathbb{N}).

CauchyâSchwarz ojämlikhet

Swarz ojämlikhet (eller CauchyâÐÐÑнÑковÑÑкийâSchwarz ojämlikhet, etc.) är mycket praktisk:

Detta är egentligen två satser (minst): en abstrakt sats som säger att ojämlikheten gäller i alla Hilbertrymder, och konkreta satser som säger att den gäller när den inre produkten och normen är definierade med de formler som används i exemplen L 2(X)L^2(X) och l 2(S)l^2(S) ovan. De konkreta satserna gäller även för funktioner som inte tillhör Hilbert-rummet och bevisar således att den inre produkten konvergerar närhelst normerna konvergerar. (Det behövs ett något starkare resultat för att kunna dra slutsatsen om denna konvergens på ett konstruktivt sätt; det kan hittas i Errett Bishops bok.)

• riggad Hilbertrymd

• Hilbert C-stjärnmodul, Hilbert bimodul

• Kähler vektorrum

Standardbeskrivningar av Hilbertrum inom kvantmekaniken inkluderar

• John von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik.

  (Tyska) Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Berlin, Tyskland: Springer Verlag, 1932.

• George Mackey, The Mathematical Foundations of Quamtum Mechanics A

  Lecture-note Volume, ser. Den matematiska fysikens monografiska serie. Princeton university, 1963

• E. PrugoveÄki, Quantum mechanics in Hilbert Space. Academic Press, 1971.