Om ett polynom endast har en obestämd bestämd (univariat polynom) skrivs termerna vanligen antingen från högsta grad till lägsta grad (”nedåtgående potenser”) eller från lägsta grad till högsta grad (”uppåtgående potenser”). Ett univariat polynom i x av grad n antar då den allmänna form som visas ovan, där

cn ≠ 0, cn-1, …, c2, c1 och c0

är konstanter, koefficienterna i polynomet.

Här kallas termen cnxn för den ledande termen och dess koefficient cn för den ledande koefficienten; om den ledande koefficienten är 1 kallas det univariata polynomet för moniskt.

ExempelEdit

• Komplexa kvadratiska polynomier

EgenskaperEdit

Multiplicativt slutnaEdit

Mängden av alla moniska polynomier (över en given (unitär) ring A och för en given variabel x) är sluten under multiplikation, eftersom produkten av de ledande termerna av två moniska polynomier är den ledande termen av deras produkt. Således bildar de moniska polynomen en multiplikativ semigrupp av polynomringen A. Eftersom det konstanta polynomet 1 är moniskt är denna semigrupp till och med en monoid.

Partiellt ordnadRedigera

Restriktionen av delbarhetsrelationen till mängden av alla moniska polynom (över den givna ringen) är en partiell ordning, och gör således denna mängd till en poset. Anledningen är att om p(x) dividerar q(x) och q(x) dividerar p(x) för två moniska polynom p och q, så måste p och q vara lika. Motsvarande egenskap gäller inte för polynom i allmänhet, om ringen innehåller andra inverterbara element än 1.

Lösningar på polynomekvationerRedigera

I andra avseenden beror egenskaperna hos moniska polynom och deras motsvarande moniska polynomekvationer på ett avgörande sätt på koefficientringen A. Om A är ett fält har varje icke-noll-polynom p exakt ett associerat moniskt polynom q: p dividerat med sin ledande koefficient. På detta sätt kan alla icke-triviala polynomiska ekvationer p(x) = 0 ersättas med en likvärdig monisk ekvation q(x) = 0. Till exempel kan den allmänna reella andra gradens ekvationen

a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}

(där a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}

)

kan ersättas med

x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle \ x^{2}+px+q=0}

,

genom att ersätta p = b/a och q = c/a. Således blir ekvationen

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle 2x^{2}+3x+1=0}

är ekvivalent med den moniska ekvationen

x 2 + 3 2 x + 1 2 = 0. {\displaystyle x^{2}+{\frac {3}{2}}}}x+{\frac {1}{2}}}=0.}

Den allmänna formeln för den kvadratiska lösningen är då den något förenklade formen:

x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) . {\displaystyle x={\frac {1}{2}}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right).}

IntegralityEdit

Om koefficientringen å andra sidan inte är ett fält finns det fler väsentliga skillnader. Till exempel kan en monisk polynomekvation med heltalskoefficienter inte ha rationella lösningar som inte är heltal. Således är ekvationen

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle \ 2x^{2}+3x+1=0}

möjligen ha någon rationell rot, som inte är ett heltal, (och för övrigt är en av dess rötter -1/2); medan ekvationerna

x 2 + 5 x + 6 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+5x+6=0}

och

x 2 + 7 x + 8 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+7x+8=0}

kan endast ha heltalslösningar eller irrationella lösningar.

Rötterna till moniska polynomier med heltalskoefficienter kallas algebraiska heltal.

Lösningarna till moniska polynomiella ekvationer över en helhetsdomän är viktiga i teorin om helhetsutvidgningar och helhetsstängda domäner och därmed för algebraisk talteori. I allmänhet antar man att A är en integraldomän och även en underring till integraldomänen B. Betrakta delmängden C av B, som består av de B-element, som uppfyller moniska polynomiella ekvationer över A:

C := { b ∈ B : ∃ p ( x ) ∈ A , som är monisk och sådan att p ( b ) = 0 } . {\displaystyle C:=\{b\i B:\existerar \,p(x)\i A\,,{\hbox{ som är monisk och sådan att }}p(b)=0\}\,.}

Mängden C innehåller A, eftersom varje a ∈ A uppfyller ekvationen x – a = 0. Dessutom är det möjligt att bevisa att C är stängd under addition och multiplikation. Således är C en underring till B. Ringen C kallas för A i B; eller bara A:s integrala slutenhet, om B är A:s bråkfält; och elementen i C sägs vara integrala över A. Om här A = Z {\displaystyle A=\mathbb {Z} }

(ringen av heltal) och B = C {\displaystyle B=\mathbb {C} }

(fältet för komplexa tal), så är C ringen för algebraiska heltal.

IrreduciblityEdit

Om p är ett primtal är antalet moniska irreducerbara polynomier av grad n över ett ändligt fält G F ( p ) {\displaystyle \mathrm {GF} (p)}

med p element är lika med halsbandsräkningsfunktionen N p ( n ) {\displaystyle N_{p}(n)}

.

Om man tar bort begränsningen att vara monisk blir detta tal ( p – 1 ) N p ( n ) {\displaystyle (p-1)N_{p}(n)}