Metrisk rymd, i matematik, särskilt topologi, en abstrakt mängd med en avståndsfunktion, kallad metrik, som anger ett icke-negativt avstånd mellan två av dess punkter på ett sådant sätt att följande egenskaper gäller: (1) avståndet från den första punkten till den andra är lika med noll om och endast om punkterna är desamma, (2) avståndet från den första punkten till den andra är lika med avståndet från den andra till den första, och (3) summan av avståndet från den första punkten till den andra och avståndet från den andra punkten till en tredje överstiger eller är lika med avståndet från den första till den tredje. Den sista av dessa egenskaper kallas triangelns ojämlikhet. Den franske matematikern Maurice Fréchet inledde studiet av metriska rum 1905.
Den vanliga avståndsfunktionen på den reella tallinjen är en metrisk funktion, liksom den vanliga avståndsfunktionen i det euklidiska n-dimensionella rummet. Det finns också mer exotiska exempel av intresse för matematiker. Givet en uppsättning punkter anger den diskreta metriken att avståndet från en punkt till sig själv är lika med 0 medan avståndet mellan två olika punkter är lika med 1. Den så kallade taxicab-metriken på det euklidiska planet anger att avståndet från en punkt (x, y) till en punkt (z, w) är |x – z| + |y – w|. Detta ”taxicabavstånd” ger den minsta längden på en väg från (x, y) till (z, w) konstruerad av horisontella och vertikala linjesegment. Inom analysen finns det flera användbara metriska mått på mängder av avgränsade realvärderade kontinuerliga eller integrerbara funktioner.
En metrisk generaliserar alltså begreppet vanligt avstånd till mer allmänna sammanhang. Dessutom bestämmer en metrik på en mängd X en samling öppna mängder, eller topologi, på X när en delmängd U av X förklaras vara öppen om och endast om det för varje punkt p i X finns ett positivt (eventuellt mycket litet) avstånd r så att mängden av alla punkter i X med ett avstånd mindre än r från p helt ingår i U. På detta sätt utgör metriska rum viktiga exempel på topologiska rum.
Ett metriskt rum sägs vara komplett om varje sekvens av punkter där termerna slutligen ligger parvis godtyckligt nära varandra (en s.k. Cauchy-sekvens) konvergerar till en punkt i det metriska rummet. Det vanliga metriska rummet för de rationella talen är inte fullständigt eftersom vissa Cauchy-sekvenser av rationella tal inte konvergerar till rationella tal. Den rationella talföljden 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, … konvergerar till exempel till π, som inte är ett rationellt tal. Den vanliga metriken för de reella talen är dock fullständig, och dessutom är varje reellt tal gränsen för en Cauchy-sekvens av rationella tal. I denna mening utgör de reella talen en komplettering av de rationella talen. Beviset för detta faktum, som gavs 1914 av den tyske matematikern Felix Hausdorff, kan generaliseras för att visa att alla metriska rum har en sådan komplettering.