Biografi
Leopold Kroneckers föräldrar var välbärgade, hans far Isidor Kronecker var en framgångsrik affärsman, medan hans mor var Johanna Prausnitzer, som också kom från en rik familj. Familjerna var judiska, den religion som Kronecker behöll fram till ett år före sin död då han konverterade till kristendomen. Kroneckers föräldrar anlitade privatlärare som undervisade honom fram till det stadium då han gick in på gymnasiet i Liegnitz, och denna handledning gav honom en mycket solid grund för sin utbildning.
Kronecker undervisades i matematik på Liegnitz Gymnasium av Kummer, och det var tack vare Kummer som Kronecker började intressera sig för matematik. Kummer insåg omedelbart Kroneckers talang för matematik och han tog honom långt utöver vad som förväntades i skolan och uppmuntrade honom till forskning. Trots sin judiska uppväxt fick Kronecker luthersk religionsundervisning på gymnasiet, vilket säkert visar att hans föräldrar var öppensinnade i religiösa frågor.
Kronecker blev student vid Berlins universitet 1841 och där studerade han under Dirichlet och Steiner. Han begränsade sig dock inte till att studera matematik, för han studerade andra ämnen som astronomi, meteorologi och kemi. Han var särskilt intresserad av filosofi och studerade filosofiska verk av Descartes, Leibniz, Kant, Spinoza och Hegel. Efter att ha tillbringat sommaren 1843 vid universitetet i Bonn, dit han gick på grund av sitt intresse för astronomi snarare än matematik, gick han sedan till universitetet i Breslau för vinterterminen 1843-44. Anledningen till att han åkte till Breslau var säkerligen på grund av hans intresse för matematik eftersom han ville studera igen med sin gamla skollärare Kummer som hade utsetts till en stol i Breslau 1842.
Kronecker tillbringade ett år i Breslau innan han återvände till Berlin för vintersemestern 1844-45. Tillbaka i Berlin arbetade han på sin doktorsavhandling om algebraisk talteori under Dirichlets överinseende. Avhandlingen, On complex units, lämnades in den 30 juli 1845 och han avlade den nödvändiga muntliga tentamen den 14 augusti. Dirichlet kommenterade avhandlingen genom att säga att Kronecker i den visade:-
… ovanlig genomslagskraft, stor noggrannhet och en exakt kunskap om det nuvarande läget inom den högre matematiken.
Det kan komma som en överraskning för många doktorander. studenter att höra att Kronecker vid sin muntliga utfrågades om ett brett spektrum av ämnen, inklusive sannolikhetsteorin tillämpad på astronomiska observationer, teorin om bestämda integraler, serier och differentialekvationer, samt om grekiska och filosofins historia.
Jacobi hade hälsoproblem som fick honom att lämna Königsberg, där han innehade en professur, och återvända till Berlin. Eisenstein, vars hälsa också var dålig, föreläste i Berlin vid denna tid och Kronecker lärde känna båda männen väl. Den riktning som Kroneckers matematiska intressen senare tog hade mycket att göra med Jacobis och Eisensteins inflytande vid denna tid. Precis när det såg ut som om han skulle inleda en akademisk karriär lämnade dock Kronecker Berlin för att ta itu med familjeangelägenheter. Han hjälpte till att sköta bankverksamheten för sin mors bror och 1848 gifte han sig med denna farbrors dotter, Fanny Prausnitzer. Han förvaltade också familjens egendom men fann ändå tid att fortsätta att arbeta med matematik, även om han gjorde detta helt och hållet för sitt eget nöjes skull.
Säkerligen behövde Kronecker inte ta på sig avlönade arbeten eftersom han vid det här laget var en förmögen man. Hans glädje över matematiken gjorde dock att när omständigheterna förändrades 1855 och han inte längre behövde bo på godset utanför Liegnitz, återvände han till Berlin. Han önskade inte en universitetsanställning, utan ville snarare delta i det matematiska livet vid universitetet och bedriva forskning i samverkan med de andra matematikerna.
År 1855 kom Kummer till Berlin för att fylla den vakans som uppstod när Dirichlet åkte till Göttingen. Borchardt hade föreläst i Berlin sedan 1848 och i slutet av 1855 övertog han redaktörskapet för Crelles Journal vid Crelles död. År 1856 kom Weierstrass till Berlin, så inom ett år efter det att Kronecker återvänt till Berlin var det anmärkningsvärda teamet Kummer, Borchardt, Weierstrass och Kronecker på plats i Berlin.
Eftersom Kronecker inte hade någon universitetsanställning föreläste han naturligtvis inte vid denna tid, men han var anmärkningsvärt aktiv inom forskningen och publicerade ett stort antal arbeten i snabb följd. Dessa handlade om talteori, elliptiska funktioner och algebra, men viktigare är att han utforskade sambanden mellan dessa ämnen. Kummer föreslog att Kronecker skulle väljas in i Berlinakademien 1860, och förslaget stöddes av Borchardt och Weierstrass. Den 23 januari 1861 valdes Kronecker in i akademin och detta hade en överraskande fördel.
Medlemmar i Berlinakademin hade rätt att föreläsa vid Berlins universitet. Även om Kronecker inte var anställd av universitetet, eller någon annan organisation för den delen, föreslog Kummer att Kronecker skulle utöva sin rätt att föreläsa vid universitetet och detta gjorde han med början i oktober 1862. De ämnen som han föreläste om var mycket relaterade till hans forskning: talteori, ekvationsteori, teori om determinanter och teori om integraler. I sina föreläsningar :-
Han försökte förenkla och förfina befintliga teorier och presentera dem ur nya perspektiv.
För de bästa studenterna var hans föreläsningar krävande men stimulerande. Han var dock ingen populär lärare hos de genomsnittliga studenterna :-
Kronecker lockade inte till sig ett stort antal studenter. Endast ett fåtal av hans åhörare kunde följa hans tankegångar, och endast ett fåtal höll ut till terminens slut.
Berlin var attraktivt för Kronecker, så till den grad att han tackade nej när han 1868 erbjöds professuren i matematik i Göttingen. Han accepterade dock hedersbetygelser som valet till Parisakademin samma år och under många år hade han goda förbindelser med sina kolleger i Berlin och på andra håll. För att förstå varför relationerna började försämras på 1870-talet måste vi undersöka Kroneckers matematiska bidrag närmare.
Vi har redan angett att Kroneckers främsta bidrag var inom ekvationsteorin och den högre algebran, med hans viktigaste bidrag inom elliptiska funktioner, teorin om algebraiska ekvationer och teorin om algebraiska tal. De ämnen han studerade begränsades dock av det faktum att han trodde på reduktionen av all matematik till argument som endast involverar heltal och ett ändligt antal steg. Kronecker är välkänd för sin anmärkning:
Gud skapade heltalen, allt annat är människans verk.
Kronecker trodde att matematiken endast borde behandla ändliga tal och ett ändligt antal operationer. Han var den förste som tvivlade på betydelsen av icke-konstruktiva existensbevis. Det verkar som om Kronecker från början av 1870-talet motsatte sig användningen av irrationella tal, övre och nedre gränser och Bolzano-Weierstrass-satsen på grund av deras icke-konstruktiva karaktär. En annan konsekvens av hans matematiska filosofi var att för Kronecker kunde transcendentala tal inte existera.
År 1870 publicerade Heine en uppsats Om trigonometriska serier i Crelle’s Journal, men Kronecker hade försökt övertala Heine att dra tillbaka uppsatsen. Återigen 1877 försökte Kronecker förhindra publiceringen av Cantors arbete i Crelle’s Journal, inte på grund av några personliga känslor mot Cantor (vilket har antytts av vissa biografer av Cantor) utan snarare för att Kronecker ansåg att Cantors uppsats var meningslös, eftersom den bevisade resultat om matematiska objekt som Kronecker ansåg inte existerade. Kronecker ingick i redaktionen för Crelle’s Journal varför han hade ett särskilt starkt inflytande på vad som publicerades i den tidskriften. Efter Borchardts död 1880 tog Kronecker över kontrollen över Crelle’s Journal som redaktör och hans inflytande över vilka artiklar som skulle publiceras ökade.
Det matematiska seminariet i Berlin hade grundats gemensamt 1861 av Kummer och Weierstrass och när Kummer gick i pension 1883 blev Kronecker meddirektör för seminariet. Detta ökade Kroneckers inflytande i Berlin. Kroneckers internationella berömmelse spred sig också, och han hedrades genom att den 31 januari 1884 bli vald till utländsk medlem av Royal Society of London. Han var också en mycket inflytelserik person inom den tyska matematiken :-
Han etablerade andra kontakter med utländska vetenskapsmän genom ett flertal resor utomlands och genom att erbjuda dem gästfrihet i sitt hem i Berlin. Av denna anledning begärdes ofta hans råd när det gällde att tillsätta matematiska professurer både i Tyskland och på andra håll; hans rekommendationer var förmodligen lika betydelsefulla som de som hans tidigare vän Weierstrass gav.
Och även om Kroneckers syn på matematiken var välkänd bland sina kollegor under hela 1870- och 1880-talen var det inte förrän 1886 som han gjorde dessa åsikter offentliga. Det året argumenterade han mot den teori om irrationella tal som användes av Dedekind, Cantor och Heine och gav de argument med vilka han motsatte sig:-
… införandet av olika begrepp med vars hjälp man på senare tid (men först av Heine) ofta har försökt att uppfatta och fastställa ”irrationella tal” i allmänhet. Till och med begreppet oändlig serie, till exempel en serie som ökar enligt bestämda potenser av variabler, är enligt min mening endast tillåtet med förbehållet att i varje specialfall, på grundval av de aritmetiska lagarna för konstruktion av termer (eller koefficienter), … vissa antaganden måste visas gälla som är tillämpliga på serier som ändliga uttryck, och som därmed gör utvidgningen bortom begreppet finita serier verkligen onödig.
Lindemann hade bevisat att π är transcendentalt 1882, och i en föreläsning som gavs 1886 komplimangerade Kronecker Lindemann för ett vackert bevis, men, hävdade han, ett bevis som inte bevisade någonting, eftersom transcendentala tal inte existerade. Kronecker var alltså konsekvent i sina argument och sin övertygelse, men många matematiker, som var stolta över sina hårt förvärvade resultat, kände att Kronecker försökte ändra matematikens kurs och skriva ut deras forskningslinje ur den framtida utvecklingen. Kronecker förklarade sitt program baserat på att endast studera matematiska objekt som kunde konstrueras med ett ändligt antal operationer från heltalen i Über den Zahlbergriff Ⓣ år 1887.
Ett annat drag i Kroneckers personlighet var att han tenderade att bli osams personligen med dem som han var oense med matematiskt. Med tanke på att han trodde att det endast fanns ändligt konstruerbara matematiska objekt var han naturligtvis helt emot Cantors utvecklande idéer inom mängdteorin. Inte bara Dedekind, Heine och Cantors matematik var oacceptabel för detta sätt att tänka, och Weierstrass kom också att känna att Kronecker försökte övertyga nästa generation matematiker om att Weierstrass arbete med analys inte var av något värde.
Kronecker hade ingen officiell ställning i Berlin förrän Kummer gick i pension 1883, då han utnämndes till ordförande. Men 1888 kände Weierstrass att han inte längre kunde arbeta med Kronecker i Berlin och bestämde sig för att åka till Schweiz, men sedan, då han insåg att Kronecker skulle vara i en stark position för att påverka valet av hans efterträdare, bestämde han sig för att stanna kvar i Berlin.
Kronecker var av mycket liten storlek och extremt självmedveten om sin längd. Ett exempel på hur Kronecker reagerade inträffade 1885 när Schwarz skickade honom en hälsning som innehöll meningen:-
Den som inte hedrar den mindre är inte värdig den större.
Här skämtade Schwarz om den lille mannen Kronecker och den stora mannen Weierstrass. Kronecker såg dock inte den roliga sidan av kommentaren och hade aldrig mer kontakt med Schwarz (som var Weierstrass’ elev och Kummers svärson). Andra visade dock mer takt och till exempel Helmholtz, som var professor i Berlin från 1871, lyckades hålla sig på god fot med Kronecker.
The Deutsche Mathematiker-Vereinigung bildades 1890 och föreningens första möte anordnades i Halle i september 1891. Trots den bittra motsättningen mellan Cantor och Kronecker bjöd Cantor in Kronecker att tala vid detta första möte som ett tecken på respekt för en av de äldsta och mest framstående personerna inom den tyska matematiken. Kronecker talade dock aldrig vid mötet, eftersom hans fru skadades allvarligt i en klättringsolycka under sommaren och avled den 23 augusti 1891. Kronecker överlevde sin fru endast några månader och dog i december 1891.
Vi ska inte tro att Kroneckers syn på matematik var helt excentrisk. Även om det var sant att de flesta matematiker på hans tid inte skulle hålla med om dessa åsikter, och förvisso skulle de flesta matematiker i dag inte hålla med om dem, så lades de inte åt sidan. Kroneckers idéer vidareutvecklades av Poincaré och Brouwer, som lade särskild vikt vid intuition. Intuitionismen betonar att matematiken har företräde framför logiken, att matematikens objekt konstrueras och bearbetas i hjärnan av matematikern och att det är omöjligt att definiera egenskaperna hos matematiska objekt enbart genom att fastställa ett antal axiom.