När rymdsonden New Horizons närmar sig Pluto får den några fantastiska bilder. Animationen nedan visar Pluto och Charon när de kretsar kring varandra.
När en planet (eller dvärgplanet) har en satellit kan man använda rörelsen hos det objektet för att hitta planetens massa. Det är inte särskilt svårt. Låt oss faktiskt använda animationen ovan för att uppskatta Plutos massa. Ok, det finns bara en sak vi behöver som inte finns med i videon. Vi behöver veta avståndet från Charon till Pluto. Om jag kände till kamerans synvinkelområde skulle jag faktiskt kunna få fram banavståndet från vinkelavståndet mellan de två objekten. Men för det här exemplet kommer jag bara att slå upp detta värde och använda ett Pluto-Charon-avstånd på 1,957 x 107 m.
Också ett par andra anteckningar om den här Pluto-Charon-videon.
- Sekvensen av bilder visar Pluto och Charon när rymdfarkosten närmar sig de två objekten. Detta innebär att avståndsskalan ändras i varje bild.
- Den här videon är relativ till masscentrumet för bana Charon-Pluto. Du kan se att både Pluto och Charon kretsar kring ett gemensamt centrum.
- Vi betraktar inte banan från en helt vinkelrät vinkel. Detta innebär att Charon inte ser ut att röra sig i en cirkel (även om den i huvudsak gör det).
Grundläggande fysik
Det finns egentligen bara två fysikaliska principer som vi behöver för det här problemet – gravitationskraften och accelerationen för ett objekt som rör sig i en cirkel. Låt oss börja med gravitationen.
Modellen för den gravitationella växelverkan säger att det finns en attraktiv för att dra på objekt med massa. Storleken på denna kraft är proportionell mot produkten av massorna hos de två föremålen som samverkar och omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet mellan föremålen. Jag kan skriva storleken på denna kraft som:
G är bara en konstant, så oroa dig inte för den. Men det finns ytterligare en sak som är viktig. Gravitationskraften drar alltid ihop de två objekten och är i riktning mot det andra objektet.
Den andra viktiga idén är att tänka på accelerationen för ett objekt som rör sig i en cirkel – ja, både Pluto och Charon rör sig i en cirkel kring ett gemensamt centrum. Här är ett diagram (men inte i skala).
Varje objekt som rör sig i en cirkel (även med konstant hastighet) kommer att accelerera. Riktningen av denna acceleration kommer att vara riktad mot cirkelns centrum och den kommer att ha en storlek som beror på både vinkelhastigheten och cirkelns radie. Denna acceleration kan skrivas som:
Här är ω föremålets vinkelhastighet i radianer per sekund. Men jag antar att det finns ytterligare en fysikgrej att titta på: förhållandet mellan kraft och acceleration. Enkelt uttryckt, ju större nettokraft som ett föremål har på sig desto större är accelerationen.
Nu ska vi sätta ihop det hela. Kraften är gravitationskraften och accelerationen beror på cirkelrörelsen. Det finns en hake. Om jag skriver ut detta för Charons rörelse så kommer gravitationskraften att använda avståndet från Charon till Pluto men accelerationen kommer att använda avståndet från Charon till centrum för rotationsrörelsen. För tydlighetens skull kommer jag att kalla avståndet mellan objekten r och radien för Charons cirkulära bana kommer att vara rc. Eftersom gravitationskraften (den enda kraften) är i samma riktning som accelerationen kan jag dessutom skriva detta som en skalär ekvation:
Charlons massa upphävs och jag kan därför lösa Plutos massa.
Så allt jag behöver är de två avstånden och vinkelhastigheten för Charons bana.
Finnande av värden
Jag har redan sagt att jag skulle leta upp avståndet från Pluto till Charon. Jag behöver dock avståndet från Charon till bancirkelns centrum. Genom att hoppa över bilderna i animationen kan jag hitta den som visar Charon och Pluto längst ifrån varandra – det är vid denna punkt som jag kan se omloppsbanans fulla storlek (inget perspektiv). Med hjälp av denna bild och avståndet från Pluto till Charon får jag en cirkulär omloppsradie på 1,69 x 107 m.
Nu behöver jag bara omloppets vinkelhastighet. Om jag väljer en ram med Charon nästan ovanför Pluto och sedan när den är nästan under Pluto, skulle det bli en halv omloppsbana. Om man tittar på tidsstämplarna på varje bild skulle detta ge en tid på ungefär 3,2 dagar (276 480 sekunder). Det skulle ge vinkelhastigheten:
Med hjälp av gravitationskonstanten G = 6,67 x 10-11 N*m2/kg2 kan jag sätta in alla mina värden för att beräkna massan. När jag knäcker siffrorna får jag en massa för Pluto på 1,24 x 1022 kg. BOOM. Detta är ganska nära det värde som anges på 22Wikipedia med ett värde på 1,3 x 1022. Jag anser att detta är tillräckligt nära för att räknas som en vinst.
Hur är det med Charons massa? Du kan använda samma idé och banavståndet för Plutos bana och få en uppskattning av massan. Det är en hemuppgift för dig.
Numerisk modell
Bara för skojs skull, här är en numerisk modell som visar Plutos och Charons rörelse.
Ovanstående kod finns på trinket.io. Det innebär att du både kan titta på koden OCH ändra koden. Prova att ändra planeternas massa och se vad som händer. Lägg märke till att om de två planeternas initiala rörelsemängd inte summerar till nollvektorn, förblir inte massans centrum stationärt. Det är roliga saker.