Morrow kommer från en hockeyfamilj. Hans far, Dave Morrow, spelade för Indianapolis Racers i World Hockey Association.
Pittsburgh Penguins valde Morrow i första rundan (nr 23) i NHL-draften 2011, men han spelade aldrig en match för dem efter att ha skrivit på den 3 augusti 2011.
Han spelade ytterligare en säsong för Portland i Western Hockey League, och slutade med 64 poäng (17 mål, 47 assist) på 62 matcher. Morrow tillbringade större delen av säsongen 2012-13 med Wilkes-Barre/Scranton i American Hockey League innan han byttes till Dallas Stars den 24 mars 2013.
Den 4 juli 2013 förvärvades Morrow av Boston Bruins som en del av ett byte med åtta spelare som skickade forward Tyler Seguin till Stars. Morrow gjorde sin NHL-debut med Bruins den 30 oktober 2014 och gjorde sitt första NHL-mål mot Penguins den 24 november. Efter att ha spelat ytterligare tre matcher skickades han dock till Providence i AHL för resten av säsongen.
Morrow spelade 33 matcher för Bruins 2015-16 och 17 matcher 2016-17 innan han skrev på för Montreal Canadiens som free agent den 1 juli 2017. Han gjorde sin bästa offensiva säsong i NHL (fem mål, sex assist) på 38 matcher innan han förvärvades av Winnipeg Jets den 26 februari 2018.
Morrow hade fem poäng (ett mål, fyra assist) på 18 matcher för Jets. Han var med i sex av deras 17 matcher i Stanley Cup-slutspelet, bland annat genom att göra segermålet i match 1 i Western Conference First Round mot Minnesota Wild.
Jets skrev ett ettårskontrakt med Morrow den 26 juni 2018.
NOTER &Transaktioner
- WHL West West First All-Star Team (2012)
- Transporterad till Dallas av Pittsburgh med Pittsburghs val i 5:e rundan (Matej Paulovic) i 2013 års NHL-draft för Brenden Morrow och Minnesotas val i 3:e rundan (tidigare förvärvad, Pittsburgh valde Jake Guentzel) i 2013 års NHL-draft, 24 mars 2013.
- Trafiken till Boston av Dallas tillsammans med Loui Eriksson, Reilly Smith och Matt Fraser för Tyler Seguin, Rich Peverley och Ryan Button, den 4 juli 2013.
- Signerade som free agent av Montreal, den 1 juli 2017.
- Skickad till Winnipeg av Montreal för Winnipegs fjärde valomgång i NHL-draften 2018, 26 februari 2018.
- Skickad som fri agent av New Jersey, 6 oktober 2019.