Spațiu metric, în matematică, în special în topologie, un ansamblu abstract cu o funcție de distanță, numită metrică, care specifică o distanță nenegativă între două puncte oarecare ale sale, astfel încât să existe următoarele proprietăți: (1) distanța de la primul punct la al doilea este egală cu zero dacă și numai dacă punctele sunt identice, (2) distanța de la primul punct la al doilea este egală cu distanța de la al doilea la primul și (3) suma distanței de la primul punct la al doilea și a distanței de la al doilea punct la un al treilea depășește sau este egală cu distanța de la primul la al treilea. Ultima dintre aceste proprietăți se numește inegalitatea triunghiului. Matematicianul francez Maurice Fréchet a inițiat studiul spațiilor metrice în 1905.

Funcția uzuală de distanță pe linia numerelor reale este o funcție metrică, la fel ca și funcția uzuală de distanță în spațiul euclidian n-dimensional. Există, de asemenea, exemple mai exotice de interes pentru matematicieni. Dat fiind orice set de puncte, metrica discretă specifică faptul că distanța de la un punct la el însuși este egală cu 0, în timp ce distanța dintre oricare două puncte distincte este egală cu 1. Așa-numita metrică taxicab pe planul euclidian declară că distanța de la un punct (x, y) la un punct (z, w) este |x – z| + |y – w|. Această „distanță taxicab” oferă lungimea minimă a unui traseu de la (x, y) la (z, w) construit din segmente de dreaptă orizontale și verticale. În analiză există mai multe metrici utile pe seturi de funcții continue sau integrabile cu valori reale delimitate.

Astfel, o metrică generalizează noțiunea de distanță obișnuită la contexte mai generale. Mai mult, o metrică pe un set X determină o colecție de seturi deschise, sau topologie, pe X atunci când un subansamblu U din X este declarat deschis dacă și numai dacă pentru fiecare punct p din X există o distanță pozitivă (eventual foarte mică) r astfel încât ansamblul tuturor punctelor din X cu distanța mai mică decât r față de p este complet conținut în U. În acest fel, spațiile metrice oferă exemple importante de spații topologice.

Un spațiu metric se spune că este complet dacă fiecare secvență de puncte în care termenii sunt în cele din urmă perechi arbitrar de apropiate unul de celălalt (așa-numita secvență Cauchy) converge către un punct din spațiul metric. Metrica obișnuită asupra numerelor raționale nu este completă, deoarece unele secvențe Cauchy ale numerelor raționale nu converg la numere raționale. De exemplu, secvența de numere raționale 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, … converge la π, care nu este un număr rațional. Cu toate acestea, metrica obișnuită asupra numerelor reale este completă și, în plus, fiecare număr real este limita unei secvențe Cauchy de numere raționale. În acest sens, numerele reale formează completarea numerelor raționale. Dovada acestui fapt, dată în 1914 de matematicianul german Felix Hausdorff, poate fi generalizată pentru a demonstra că orice spațiu metric are o astfel de completare.