Dacă un polinom are o singură nedeterminată (polinom univariat), atunci termenii se scriu de obicei fie de la gradul cel mai mare la gradul cel mai mic („puteri descrescătoare”), fie de la gradul cel mai mic la gradul cel mai mare („puteri ascendente”). Un polinom univariat în x de grad n are atunci forma generală afișată mai sus, unde

cn ≠ 0, cn-1, …, c2, c1 și c0

sunt constante, coeficienții polinomului.

Aici termenul cnxn se numește termen conducător, iar coeficientul său cn coeficientul conducător; dacă coeficientul conducător este 1, polinomul univariat se numește monic.

ExempleEdit

• Polinoame pătratice complexe

ProprietățiEdit

Închis prin multiplicareEdit

Asamblul tuturor polinoamelor monice (pe un anumit inel (unitar) A și pentru o anumită variabilă x) este închis prin multiplicare, deoarece produsul termenilor principali a două polinoame monice este termenul principal al produsului lor. Astfel, polinoamele monice formează un semigrup multiplicativ al inelului de polinoame A. De fapt, deoarece polinomul constant 1 este monic, acest semigrup este chiar un monoid.

Ordine parțialăEdit

Restrângerea relației de divizibilitate la ansamblul tuturor polinoamelor monice (pe inelul dat) este o ordine parțială și, astfel, face ca acest ansamblu să fie un poset. Motivul este că dacă p(x) împarte q(x) și q(x) împarte p(x) pentru două polinoame monice p și q, atunci p și q trebuie să fie egale. Proprietatea corespunzătoare nu este adevărată pentru polinoame în general, dacă inelul conține elemente inversabile, altele decât 1.

Soluții ale ecuațiilor polinomialeEdit

În alte privințe, proprietățile polinoamelor monice și ale ecuațiilor polinomiale monice corespunzătoare acestora depind în mod crucial de inelul de coeficienți A. Dacă A este un câmp, atunci fiecărui polinom neizolat p îi este asociat exact un polinom monic q: p împărțit la coeficientul său principal. Astfel, orice ecuație polinomială non-trivială p(x) = 0 poate fi înlocuită cu o ecuație monică echivalentă q(x) = 0. De exemplu, ecuația generală reală de gradul doi

a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}

(unde a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}

)

poate fi înlocuită cu

x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle \ x^{2}+px+q=0}

,

înlocuind p = b/a și q = c/a. Astfel, ecuația

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle 2x^{2}+3x+1=0}

este echivalentă cu ecuația monică

x 2 + 3 2 2 x + 1 2 = 0. {\displaystyle x^{2}+{\frac {3}{2}}}x+{\frac {1}{2}}}=0.}

Formula generală a soluției pătratice este atunci forma ușor mai simplificată de:

x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) . {\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right).}

IntegralityEdit

Pe de altă parte, dacă inelul de coeficienți nu este un câmp, există mai multe diferențe esențiale. De exemplu, o ecuație polinomială monică cu coeficienți întregi nu poate avea soluții raționale care nu sunt numere întregi. Astfel, ecuația

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle \ 2x^{2}+3x+1=0}

poate avea o rădăcină rațională oarecare, care nu este un număr întreg, (și întâmplător una dintre rădăcinile sale este -1/2); în timp ce ecuațiile

x 2 + 5 x + 6 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+5x+6=0}

și

x 2 + 7 x + 8 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+7x+8=0}

pot avea numai soluții întregi sau soluții iraționale.

Rădăcinile polinoamelor monice cu coeficienți întregi se numesc numere întregi algebrice.

Soluțiile ecuațiilor polinoamelor monice pe un domeniu integral sunt importante în teoria extensiilor integrale și a domeniilor integral închise și, prin urmare, pentru teoria algebrică a numerelor. În general, să presupunem că A este un domeniu integral și, de asemenea, un subring al domeniului integral B. Să considerăm subansamblul C din B, format din acele elemente B, care satisfac ecuații polinomiale monice peste A:

C := { b ∈ B : ∃ p ( x ) ∈ A , care este monică și astfel încât p ( b ) = 0 } . {\displaystyle C:=\{b\în B:\există \,p(x)\ în A\,,{\hbox{ care este monică și astfel încât }}}p(b)=0\}\}\,.}

Asamblul C conține A, deoarece orice a ∈ A satisface ecuația x – a = 0. În plus, este posibil să se demonstreze că C este închis sub adunare și înmulțire. Astfel, C este un sub-inel al lui B. Inelul C se numește inelul lui A în B; sau doar închiderea integrală a lui A, dacă B este câmpul de fracții al lui A; iar elementele lui C se spune că sunt integrale asupra lui A. Dacă aici A = Z {\displaystyle A=\mathbb {Z} }

(inelul numerelor întregi) și B = C {\displaystyle B=\mathbb {C} }

(domeniul numerelor complexe), atunci C este inelul numerelor întregi algebrice.

IreductibilitateEdit

Dacă p este un număr prim, numărul de polinoame monice ireductibile de grad n pe un câmp finit G F ( p ) {\displaystyle \mathrm {GF} (p)}

cu p elemente este egală cu funcția de numărare a colierelor N p ( n ) {\displaystyle N_{p}(n)}

.

Dacă se înlătură constrângerea de a fi monic, acest număr devine ( p – 1 ) N p ( n ) {\displaystyle (p-1)N_{p}(n)}

.