Paul Cohen (1934-2007)
Paul Cohen a făcut parte dintr-o nouă generație de matematicieni americani inspirați de afluxul de exilați europeni din anii războiului. El însuși a fost un imigrant evreu din a doua generație, dar era descurajant de inteligent și extrem de ambițios. Prin pură inteligență și forță de voință, a ajuns să obțină pentru sine faimă, bogăție și cele mai importante premii matematice.
A fost educat la New York, Brooklyn și la Universitatea din Chicago, înainte de a avansa până la o catedră la Universitatea Stanford. A continuat să câștige prestigioasa Medalie Fields în matematică, precum și Medalia Națională de Știință și Premiul Memorial Bôcher în analiză matematică. Interesele sale matematice au fost foarte largi, variind de la analiză matematică și ecuații diferențiale la logică matematică și teoria numerelor.
La începutul anilor 1960, s-a aplicat cu seriozitate la prima dintre cele 23 de liste de probleme deschise ale lui Hilbert, ipoteza continuumului lui Cantor, dacă există sau nu un set de numere mai mare decât setul tuturor numerelor naturale (sau întregi), dar mai mic decât setul numerelor reale (sau zecimale). Cantor era convins că răspunsul este „nu”, dar nu a reușit să o demonstreze în mod satisfăcător, și nici oricine altcineva care s-a aplicat la această problemă de atunci încoace.
Una dintre mai multe formulări alternative ale Axiomelor Zermelo-Fraenkel și Axiomului de alegere
Se făcuseră unele progrese după Cantor. Între aproximativ 1908 și 1922, Ernst Zermelo și Abraham Fraenkel au dezvoltat forma standard a teoriei axiomatice a seturilor, care avea să devină cea mai răspândită bază a matematicii, cunoscută sub numele de teoria seturilor Zermelo-Fraenkel (ZF, sau, așa cum a fost modificată prin Axioma de alegere, ca ZFC).
Kurt Gödel a demonstrat în 1940 că ipoteza continuumului este în concordanță cu ZF și că ipoteza continuumului nu poate fi infirmată din teoria standard a seturilor Zermelo-Fraenkel, chiar dacă se adoptă axioma alegerii. Sarcina lui Cohen a fost, deci, să demonstreze că ipoteza continuumului este independentă de ZFC (sau nu) și, în mod specific, să dovedească independența axiomei alegerii.
Tehnica forțării
Concluzia extraordinară și îndrăzneață a lui Cohen, la care a ajuns folosind o nouă tehnică dezvoltată de el însuși, numită „forțare”, a fost că ambele răspunsuri pot fi adevărate, adică că ipoteza continuumului și axioma alegerii sunt complet independente de teoria seturilor ZF. Astfel, puteau exista două matematici diferite, coerente din punct de vedere intern: una în care ipoteza continuumului era adevărată (și nu exista un astfel de set de numere) și una în care ipoteza era falsă (și exista un set de numere). Demonstrația părea a fi corectă, dar metodele lui Cohen, în special noua sa tehnică de „forțare”, erau atât de noi încât nimeni nu a fost cu adevărat sigur până când Gödel și-a dat în cele din urmă aprobarea în 1963.
Constatările sale au fost la fel de revoluționare ca și cele ale lui Gödel. De atunci, matematicienii au construit două lumi matematice diferite, una în care se aplică ipoteza continuității și una în care nu se aplică, iar demonstrațiile matematice moderne trebuie să insereze o afirmație care să declare dacă rezultatul depinde sau nu de ipoteza continuității.
Demonstrația lui Cohen, care a schimbat paradigma, i-a adus faimă, bogăție și premii matematice din belșug, iar el a devenit un profesor de top la Stanford și Princeton. Cuprins de succes, el a decis să abordeze Sfântul Graal al matematicii moderne, cea de-a opta problemă a lui Hilbert, ipoteza Riemann. Cu toate acestea, a sfârșit prin a-și petrece ultimii 40 de ani din viață, până la moartea sa în 2007, ocupându-se de această problemă, fără a găsi încă o rezolvare (deși abordarea sa a dat noi speranțe altora, inclusiv strălucitului său student, Peter Sarnak).
| <<Înapoi la Weil | Înapoi la Robinson și Matiyasevich >> |
.