care este (1â3) sesquiliniar și (4) conjugat-simetric; adică:

1. â¨0,xâ©=0 \langle 0, x \rangle = 0 și â¨x,0â©=0 \langle x, 0 \rangle = 0 ;
2. â¨x+y,zâ©=â¨x,zâ©+â¨y,zâ© \langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle și â¨x,y+zâ©=â¨x,yâ©+â¨x,zâ© \langle x, y + z \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle ;
3. â¨cx,yâ©=c¯â¨x,yâ© \langle c x, y \rangle = \bar{c} \langle x, y \rangle and â¨x,cyâ©=câ¨x,yâ© \langle x, c y \rangle = c \langle x, y \rangle ;
4. â¨x,yâ©=â¨y,xâ©Â¯ \langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle} .

Aici folosim convenția fizicienilor, conform căreia produsul interior este conjugat-liniar în prima variabilă și nu în cea de-a doua, mai degrabă decât convenția matematicienilor, care este inversă. Convenția fizicianului se potrivește un pic mai bine cu spațiile 22-Hilbert. Rețineți că folosim același câmp ca valori ale produsului interior ca și pentru scalari; conjugarea complexă va fi irelevantă pentru unele alegeri de câmp.

Lista de axiome de mai sus este destul de redundantă. În primul rând, (1) rezultă din (3) prin setarea c=0c = 0; în afară de aceasta, (1â3) vin în perechi, dintre care numai una este necesară, deoarece fiecare jumătate rezultă din cealaltă folosind (4). Este chiar posibil să derivăm (3) din (2) presupunând că VV este un spațiu vectorial topologic și că produsul intern este continuu (ceea ce, după cum vom vedea, este oricum întotdeauna adevărat pentru un spațiu Hilbert).

Următorul concept de definit este (semi)definirea. Definim o funcție ââââ 2:Vâââ\|{-}\|^2: V \ la \mathbb{C} prin âxâ 2=â¨x,xâ©\|\x\|^2 = \unghi x, x \unghi; de fapt, âââ 2\|{-}\|^2 ia numai valori reale, prin (4). * Produsul interior este semidefinit pozitiv, sau pur și simplu pozitiv, dacă âxâ 2â 2â¥0\|x\||^2 \geq 0 întotdeauna. * Observați că (prin 1), âxâ 2=0\|x\||^2 = 0 dacă x=0x = 0; produsul intern este definit dacă este valabil invers. * Un produs intern este definit pozitiv dacă este atât pozitiv cât și definit. * Ca o paranteză, există, de asemenea, produse interne (semi)definite negative, care sunt puțin mai puțin convenabile, dar nu sunt cu adevărat diferite. Un produs interior este nedefinit dacă unele âxâ 2\|x\|^2 sunt pozitive și unele sunt negative; acestea au o aromă foarte diferită.

Produsul interior este complet dacă, dată fiind orice secvență infinită (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) astfel încât

există o sumă (neapărat unică) SS astfel încât

Dacă produsul intern este definit, atunci această sumă, dacă există, trebuie să fie unică, și scriem

(cu partea dreaptă nedefinită dacă nu există o astfel de sumă).

Atunci un spațiu Hilbert este pur și simplu un spațiu vectorial echipat cu un produs intern complet definit pozitiv.

Spațiile Hilbert ca spații Banach

Dacă un produs intern este pozitiv, atunci putem lua rădăcina pătrată principală a lui âxâ 2=â¨x,xâ©\|x\|^2 = \unghiul x, x \rangul pentru a obține un număr real âxâ\|x\|, norma lui xx.

Această normă satisface toate cerințele unui spațiu Banach. Ea satisface în plus legea paralelogramului

pe care nu toate spațiile Banach trebuie să o satisfacă. (Numele acestei legi provine din interpretarea sa geometrică: normele din partea stângă sunt lungimile diagonalelor unui paralelogram, în timp ce normele din partea dreaptă sunt lungimile laturilor.)

În plus, orice spațiu Banach care satsifică legea paralelogramului are un produs intern unic care reproduce norma, definit prin

sau 12(âx+yâ 2ââxâyâ 2)\frac{1}{2}(\|x + y\|^2 – \|x – y\|^2) în cazul real.

Prin urmare, este posibil să se definească un spațiu Hilbert ca fiind un spațiu Banach care satisface legea paralelogramului. Acest lucru funcționează de fapt un pic mai general; un spațiu cu produs interior semidefinit pozitiv este un spațiu vectorial pseudonormat care satisface legea paralelogramului. (Cu toate acestea, nu putem recupera un produs interior nedefinit dintr-o normă.)

Spații Hilbert ca spații metrice

În orice spațiu cu produs interior semidefinit pozitiv, fie distanța d(x,y)d(x,y) d(x,y)

Atunci dd este o pseudometrică; este o metrică completă dacă și numai dacă avem un spațiu Hilbert.

De fapt, axiomele unui spațiu Banach (sau spațiu vectorial pseudonormat) pot fi scrise în întregime în termeni de metrică; de asemenea, putem enunța legea paralelogramului în felul următor:

În definiții, este probabil cel mai frecvent să vedem că metrica este introdusă doar pentru a preciza cerința de completitudine. Într-adevăr, (1) spune că secvența de sume parțiale este o secvență Cauchy, în timp ce (2) spune că secvența de sume parțiale converge la SS.

Spațiile Hilbert ca spații conforme

După doi vectori xx și yy, ambii nenule, fie unghiul dintre ei unghiul θ(x,y)\theta(x,y) al cărui cosinus este

(Observați că acest unghi poate fi imaginar în general, dar nu și pentru un spațiu Hilbert pe â\mathbb{R}.)

Un spațiu Hilbert nu poate fi reconstruit în întregime din unghiurile sale, totuși (chiar și având în vedere spațiul vectorial de bază). Produsul intern poate fi recuperat numai până la un factor de scară pozitiv.

Morfisme ale spațiilor Hilbert

Vezi discuția la Spațiul Banach. Mai sunt mai multe de spus aici cu privire la duali (inclusiv de ce teoria spațiilor Hilbert este puțin mai frumoasă pe â\mathbb{C} în timp ce cea a spațiilor Banach este puțin mai frumoasă pe â\mathbb{R}).

Exemple

Spații Banach

Toate exemplele cu parametrii pp de la spațiul Banach se aplică dacă se ia p=2p = 2.

În particular, spațiul vectorial nn-dimensional â n\mathbb{C}^n este un spațiu Hilbert complex cu

Care subcâmp KK al lui â\mathbb{C} dă un spațiu de produs interior pozitiv definit K nK^n a cărui completare este fie â n\mathbb{R}^n, fie â n\mathbb{C}^n. În particular, spațiul cartezian â n\mathbb{R}^n este un spațiu Hilbert real; noțiunile geometrice de distanță și unghi definite mai sus sunt în acord cu geometria euclidiană obișnuită pentru acest exemplu.

Dintre funcțiile Lebesgue pătratic-integrabile pe o mulțime

Spațiile L- Hilbert L 2(â)L^2(\mathbb{R}), L 2()L^2(), L 2(â 3)L^2(\mathbb{R}^3), etc. (reale sau complexe) sunt foarte bine cunoscute. În general, L 2(X)L^2(X) pentru XX un spațiu de măsură constă din funcțiile ff definite aproape pretutindeni din XX către câmpul scalar (â\mathbb{R} sau â\mathbb{C}) astfel încât â”|f| 2 \int |f|^2 converge către un număr finit, cu funcțiile identificate dacă sunt egale aproape pretutindeni; avem â¨f,gâ©=â „f¯g\langle f, g\rangle = \int \bar{f} g, care converge prin inegalitatea CauchyâSchwarz. În cazurile specifice enumerate (și, în general, atunci când XX este un spațiu Hausdorff local compact), putem obține acest spațiu și prin completarea spațiului produsului interior pozitiv definit al funcțiilor continue cu suport compact.

Spațiu de semidensități pătrat-integrabile

• Spațiu Hilbert canonic de semidensități

Proprietăți

Baze

Un rezultat de bază este că, în mod abstract, spațiile Hilbert sunt toate de același tip: fiecare spațiu Hilbert HH admite o bază ortonormală, adică un subansamblu SâHS \subansamblu H a cărui hartă de incluziune se extinde (neapărat în mod unic) la un izomorfism

de spații Hilbert. Aici l 2(S)l^2(S) este spațiul vectorial format din acele funcții xx de la SS la câmpul scalar astfel încât

convertește într-un număr finit; acesta poate fi obținut și prin completarea spațiului vectorial al combinațiilor liniare formale ale elementelor din SS cu un produs intern determinat în mod unic prin regula

în care δ uv\delta_{u v} reprezintă delta Kronecker. Avem astfel, în l 2(S)l^2(S),

(Această sumă converge prin inegalitatea CauchyâSchwarz.)

În general, acest rezultat folosește în demonstrația sa axioma alegerii (de obicei sub formă de lema lui Zorn și mijloc exclus) și este echivalent cu aceasta. Cu toate acestea, rezultatul pentru spațiile Hilbert separabile are nevoie doar de alegerea dependentă și, prin urmare, este constructiv după standardele majorității școlilor. Chiar și fără alegere dependentă, bazele ortornormale explicite pentru anumite L 2(X)L^2(X) pot fi adesea produse folosind tehnici de aproximare a identității, adesea împreună cu un proces Gram-Schmidt.

În special, toate spațiile Hilbert separabile infinit-dimensionale sunt izomorfe în mod abstract la L 2(â)l^2(\mathbb{N}).

Inegalitatea CauchyâSchwarz

Inegalitatea Schwarz (sau inegalitatea CauchyâÐÑнÑковÑкийâSchwarz, etc) este foarte la îndemână:

Aceasta este de fapt două teoreme (cel puțin): o teoremă abstractă că inegalitatea este valabilă în orice spațiu Hilbert, și teoreme concrete că este valabilă atunci când produsul interior și norma sunt definite prin formulele folosite în exemplele L 2(X)L^2(X) și l 2(S)l^2(S) de mai sus. Teoremele concrete se aplică chiar și în cazul funcțiilor care nu aparțin spațiului Hilbert și demonstrează astfel că produsul intern converge ori de câte ori converg normele. (Este necesar un rezultat ceva mai puternic pentru a concluziona această convergență în mod constructiv; acesta poate fi găsit în cartea lui Errett Bishop.)

• Spațiu Hilbert rigidizat

• Module Hilbert C-star, bimodule Hilbert

• Spațiu vectorial Kähler

Explicațiile standard ale spațiilor Hilbert în mecanica cuantică includ

• John von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik.

  (germană) Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Berlin, Germania: Springer Verlag, 1932.

• George Mackey, The Mathematical Foundations of Quamtum Mechanics A

  Lecture-note Volume, ser. Seria monografii de fizică matematică. Princeton university, 1963

• E. PrugoveÄki, Mecanica cuantică în spațiul Hilbert. Academic Press, 1971.