Jeśli wielomian ma tylko jedną nieokreśloność (wielomian jednoargumentowy), to wyrażenia są zwykle zapisywane od stopnia najwyższego do najniższego („potęgi malejące”) lub od stopnia najniższego do najwyższego („potęgi rosnące”). Jednowariantowy wielomian w x stopnia n przyjmuje wtedy ogólną postać przedstawioną powyżej, gdzie

cn ≠ 0, cn-1, …, c2, c1 i c0

są stałymi, współczynnikami wielomianu.

Tutaj termin cnxn jest nazywany terminem wiodącym, a jego współczynnik cn współczynnikiem wiodącym; jeśli współczynnik wiodący wynosi 1, wielomian jednoargumentowy jest nazywany monicznym.

PrzykładyEdit

• Kompleksowe wielomiany kwadratowe

WłasnościEdit

Wielomian zamknięty mnożnikowoEdit

Zbiór wszystkich wielomianów jednomianowych (nad danym (unitarnym) pierścieniem A i dla danej zmiennej x) jest zamknięty mnożnikowo, gdyż iloczyn pierwiastków wiodących dwóch wielomianów jednomianowych jest pierwiastkiem wiodącym ich iloczynu. Zatem wielomiany jednomianowe tworzą multiplikatywną półgrupę pierścienia wielomianowego A. Ponieważ wielomian stały 1 jest jednomianem, to ta półgrupa jest nawet monoidem.

Częściowo uporządkowanyEdit

Ograniczenie relacji podzielności do zbioru wszystkich wielomianów jednomianowych (nad danym pierścieniem) jest częściowym uporządkowaniem, a więc czyni ten zbiór posetem. Wynika to z tego, że jeśli p(x) dzieli q(x) i q(x) dzieli p(x) dla dwóch wielomianów jednomianowych p i q, to p i q muszą być równe. Odpowiednia własność nie jest prawdziwa dla wielomianów w ogóle, jeśli pierścień zawiera elementy odwracalne inne niż 1.

Rozwiązania równań wielomianowychEdit

W innych aspektach, własności wielomianów jednomianowych i odpowiadających im równań wielomianowych jednomianowych zależą zasadniczo od pierścienia współczynników A. Jeśli A jest polem, to każdy niezerowy wielomian p ma dokładnie jeden związany z nim wielomian jednomian q: p podzielony przez jego wiodący współczynnik. W ten sposób każde nietrywialne równanie wielomianowe p(x) = 0 może być zastąpione równoważnym równaniem jednomianowym q(x) = 0. Na przykład, ogólne rzeczywiste równanie drugiego stopnia

a x 2 + b x + c = 0 { ax^{2}+bx+c=0}

(gdzie a ≠ 0 {displaystyle a 0}

)

można zastąpić przez

x 2 + p x + q = 0 {displaystyle x^{2}+px+q=0}

,

przez podstawienie p = b/a i q = c/a. W ten sposób równanie

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {x^{2}+3x+1=0}

jest równoważne równaniu monicznemu

x 2 + 3 2 x + 1 2 = 0. {displaystyle x^{2}+{frac {3}{2}}x+{frac {1}{2}}=0.}

Ogólny wzór na rozwiązanie kwadratu ma wtedy nieco bardziej uproszczoną postać:

x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) . {{displaystyle x={{frac {1}{2}}}left(-p {sqrt {p^{2}-4q}}}}right).}

IntegralityEdit

Z drugiej strony, jeśli pierścień współczynników nie jest polem, istnieją bardziej istotne różnice. Na przykład, moniczne równanie wielomianowe o współczynnikach całkowitych nie może mieć racjonalnych rozwiązań, które nie są liczbami całkowitymi. Zatem równanie

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 { 2x^{2}+3x+1=0}

może mieć jakiś racjonalny pierwiastek, który nie jest liczbą całkowitą, (a nawiasem mówiąc jednym z jego pierwiastków jest -1/2); natomiast równania

x 2 + 5 x + 6 = 0 {{displaystyle \ x^{2}+5x+6=0}

oraz

x 2 + 7 x + 8 = 0 {{displaystyle \ x^{2}+7x+8=0}

mogą mieć tylko rozwiązania całkowite lub irracjonalne.

Korzenie wielomianów jednoimiennych o współczynnikach całkowitych nazywamy liczbami całkowitymi algebraicznymi.

Rozwiązania równań wielomianów jednoimiennych nad dziedziną całkową są ważne w teorii rozszerzeń całkowych i dziedzin całkowo domkniętych, a więc dla algebraicznej teorii liczb. W ogólności załóżmy, że A jest dziedziną całkową, a także podpierścieniem dziedziny całkowej B. Rozważmy podzbiór C dziedziny B, składający się z tych elementów B, które spełniają równania wielomianowe jednomianowe nad A:

C := { b ∈ B : ∃ p ( x ) ∈ A , który jest jednomianowy i taki, że p ( b ) = 0 } . {C:={b:∈ B : ∃ p(x)∈ A , która jest moniczna i taka, że }} p(b)=0 }. Zatem C jest podpierścieniem B. Pierścień C nazywamy the of A in B; lub po prostu integralnym domknięciem A, jeśli B jest polem ułamkowym A; a o elementach C mówimy, że są integralne nad A. Jeśli tutaj A = Z {{displaystyle A= {Z} }

(pierścień liczb całkowitych) i B = C { {displaystyle B=mathb {C} }

(pole liczb zespolonych), to C jest pierścieniem liczb całkowitych algebraicznych.

IrreduciblityEdit

Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to liczba monicznych nieredukowalnych wielomianów stopnia n nad polem skończonym G F ( p ) {{displaystyle {GF} (p)}

z p elementami jest równa funkcji zliczania naszyjników N p ( n ) {{displaystyle N_{p}(n)}

.

Jeśli usuniemy ograniczenie moniczności, liczba ta staje się ( p – 1 ) N p ( n ) {displaystyle (p-1)N_{p}(n)}

.