Przestrzeń metryczna, w matematyce, zwłaszcza topologii, zbiór abstrakcyjny z funkcją odległości, zwaną metryką, która określa nieujemną odległość między dowolnymi dwoma jego punktami w taki sposób, że zachodzą następujące własności: (1) odległość od pierwszego punktu do drugiego jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy punkty te są takie same, (2) odległość od pierwszego punktu do drugiego jest równa odległości od drugiego do pierwszego oraz (3) suma odległości od pierwszego punktu do drugiego i odległości od drugiego do trzeciego jest większa lub równa odległości od pierwszego do trzeciego. Ostatnia z tych własności nazywana jest nierównością trójkąta. Francuski matematyk Maurice Fréchet zainicjował badania przestrzeni metrycznych w 1905 r.

Zwykła funkcja odległości na linii liczb rzeczywistych jest metryczna, podobnie jak zwykła funkcja odległości w przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej. Istnieją również bardziej egzotyczne przykłady interesujące dla matematyków. Biorąc pod uwagę dowolny zbiór punktów, metryka dyskretna określa, że odległość od punktu do samego siebie jest równa 0, natomiast odległość między dowolnymi dwoma różnymi punktami jest równa 1. Tak zwana metryka taxicab na płaszczyźnie euklidesowej mówi, że odległość od punktu (x, y) do punktu (z, w) jest równa |x – z| + |y – w|. Ta „odległość taksówkowa” daje minimalną długość ścieżki od (x, y) do (z, w) zbudowanej z odcinków linii poziomych i pionowych. W analizie istnieje kilka użytecznych metryk na zbiorach związanych funkcji ciągłych lub całkowych o rzeczywistej wartości.

Tak więc metryka uogólnia pojęcie zwykłej odległości na bardziej ogólne ustawienia. Co więcej, metryka na zbiorze X określa zbiór zbiorów otwartych lub topologię na X, gdy podzbiór U X jest uznany za otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu p X istnieje dodatnia (możliwie bardzo mała) odległość r taka, że zbiór wszystkich punktów X o odległości mniejszej niż r od p jest całkowicie zawarty w U. W ten sposób przestrzenie metryczne są ważnymi przykładami przestrzeni topologicznych.

Przestrzeń metryczną uważa się za zupełną, jeśli każdy ciąg punktów, w którym warunki są ostatecznie parami arbitralnie bliskie sobie (tzw. ciąg Cauchy’ego) zbiega do punktu w przestrzeni metrycznej. Zwykła metryka na liczbach wymiernych nie jest zupełna, ponieważ niektóre ciągi Cauchy’ego liczb wymiernych nie zbiegają do liczb wymiernych. Na przykład, ciąg liczb racjonalnych 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, … zbiega do π, która nie jest liczbą racjonalną. Jednak zwykła metryka na liczbach rzeczywistych jest zupełna, a ponadto każda liczba rzeczywista jest granicą ciągu Cauchy’ego liczb racjonalnych. W tym sensie liczby rzeczywiste stanowią dopełnienie liczb racjonalnych. Dowód tego faktu, podany w 1914 roku przez niemieckiego matematyka Felixa Hausdorffa, można uogólnić, aby wykazać, że każda przestrzeń metryczna ma takie dopełnienie.

.