Paul Cohen (1934-2007)
Paul Cohen był jednym z nowego pokolenia amerykańskich matematyków zainspirowanych napływem europejskich wygnańców w latach wojny. On sam był żydowskim imigrantem w drugim pokoleniu, ale był onieśmielająco inteligentny i niezwykle ambitny. Przez czystą inteligencję i siłę woli, poszedł na garner dla siebie sławę, bogactwo i najwyższe nagrody matematyczne.
Był wykształcony w Nowym Jorku, Brooklynie i University of Chicago, przed pracy jego drogę do profesury na Uniwersytecie Stanforda. Zdobył prestiżowy Medal Fieldsa w dziedzinie matematyki, a także National Medal of Science i Bôcher Memorial Prize w dziedzinie analizy matematycznej. Jego zainteresowania matematyczne były bardzo szerokie, począwszy od analizy matematycznej i równań różniczkowych do logiki matematycznej i teorii liczb.
Na początku lat sześćdziesiątych, gorliwie zastosował się do pierwszego z 23 list Hilberta otwartych problemów, hipotezy Cantora continuum, czy istnieje zbiór liczb większy niż zbiór wszystkich liczb naturalnych (lub całych), ale mniejszy niż zbiór liczb rzeczywistych (lub dziesiętnych). Cantor był przekonany, że odpowiedź brzmi „nie”, ale nie był w stanie tego zadowalająco udowodnić, podobnie jak nikt inny, kto od tego czasu zajął się tym problemem.
Jedno z kilku alternatywnych sformułowań aksjomatów Zermelo-Fraenkla i aksjomatu wyboru
Od czasu Cantora dokonał się pewien postęp. W latach 1908-1922 Ernst Zermelo i Abraham Fraenkel opracowali standardową formę aksjomatycznej teorii zbiorów, która miała stać się najbardziej rozpowszechnioną podstawą matematyki, znaną jako teoria zbiorów Zermelo-Fraenkla (ZF lub, w wersji zmodyfikowanej przez aksjomat wyboru, jako ZFC).
Kurt Gödel wykazał w 1940 roku, że hipoteza continuum jest zgodna z ZF, oraz że hipotezy continuum nie da się obalić na gruncie standardowej teorii zbiorów Zermelo-Fraenkela, nawet jeśli przyjmie się aksjomat wyboru. Zadaniem Cohena było więc wykazanie, że hipoteza continuum jest niezależna od ZFC (lub nie), a w szczególności udowodnienie niezależności aksjomatu wyboru.
Technika forsowania
Niezwykły i śmiały wniosek Cohena, do którego doszedł za pomocą opracowanej przez siebie nowej techniki zwanej „forsowaniem”, był taki, że obie odpowiedzi mogą być prawdziwe, tzn. że hipoteza continuum i aksjomat wyboru są całkowicie niezależne od teorii zbiorów ZF. Mogły więc istnieć dwie różne, wewnętrznie spójne matematyki: jedna, w której hipoteza continuum była prawdziwa (i taki zbiór liczb nie istniał), i druga, w której hipoteza była fałszywa (i taki zbiór liczb istniał). Dowód wydawał się być poprawny, ale metody Cohena, w szczególności jego nowa technika „wymuszania”, były tak nowe, że nikt nie był do końca pewien, dopóki Gödel w końcu nie dał swojej pieczęci aprobaty w 1963 roku.
Jego odkrycia były tak samo rewolucyjne jak odkrycia Gödla. Od tego czasu matematycy stworzyli dwa różne matematyczne światy, jeden, w którym hipoteza continuum ma zastosowanie i jeden, w którym nie ma, a współczesne dowody matematyczne muszą zawierać stwierdzenie, czy wynik zależy od hipotezy continuum, czy nie.
Dowód Cohena zmieniający paradygmat przyniósł mu sławę, bogactwo i liczne nagrody matematyczne, a on sam stał się czołowym profesorem w Stanford i Princeton. Opromieniony sukcesem, postanowił zmierzyć się ze Świętym Graalem współczesnej matematyki, ósmym problemem Hilberta, hipotezą Riemanna. Skończyło się jednak na tym, że spędził ostatnie 40 lat swojego życia, aż do śmierci w 2007 roku, nad tym problemem, wciąż bez rozwiązania (chociaż jego podejście dało nową nadzieję innym, w tym jego genialnemu studentowi, Peterowi Sarnakowi).
| <<Powrót do Weila | Powrót do Robinsona i Matiyasevicha >> |
.