istnieje (koniecznie unikalna) suma SS taka, że

Jeśli iloczyn wewnętrzny jest definitywny, to ta suma, jeśli istnieje, musi być unikalna i piszemy

(z prawą stroną nieokreśloną, jeśli taka suma nie istnieje).

Przestrzeń Hilberta to po prostu przestrzeń wektorowa wyposażona w pełny dodatnio definitywny iloczyn wewnętrzny.

Przestrzenie Hilberta jako przestrzenie Banacha

Jeżeli iloczyn wewnętrzny jest dodatni, to możemy wziąć pierwiastek kwadratowy z âxâ 2=â¨x,xâ©|x|^2 = ¨kąt x, x ¨rangle, aby otrzymać liczbę rzeczywistą âxâ|x|, normę xx.

Ta norma spełnia wszystkie wymagania przestrzeni Banacha. Dodatkowo spełnia ona prawo równoległoboku

które nie wszystkie przestrzenie Banacha muszą spełniać. (Nazwa tego prawa pochodzi od jego interpretacji geometrycznej: normy z lewej strony są długościami przekątnych równoległoboku, a normy z prawej strony są długościami boków.Ponadto, każda przestrzeń Banacha spełniająca prawo równoległoboku ma unikalny iloczyn wewnętrzny odwzorowujący normę, zdefiniowany przez

lub 12(âx+yâ 2âxâyâ 2)\frac{1}{2}(\+yâ^2 – \|x – yâ^2) w prawdziwym przypadku.

Więc możliwe jest zdefiniowanie przestrzeni Hilberta jako przestrzeni Banacha, która spełnia prawo równoległoboku. W rzeczywistości działa to nieco bardziej ogólnie; dodatnio półokreślona przestrzeń wewnętrznego produktu jest pseudonormatywną przestrzenią wektorową, która spełnia prawo równoległoboku. (Nie możemy jednak odzyskać nieokreślonego iloczynu wewnętrznego z normy.)

Przestrzenie Hilberta jako przestrzenie metryczne

W dowolnej przestrzeni o dodatnim półokreślonym iloczynie wewnętrznym, niech odległość d(x,y)d(x,y) będzie

Wtedy dd jest pseudometryczną; jest metryką zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy mamy przestrzeń Hilberta.

W rzeczywistości, aksjomaty przestrzeni Banacha (lub pseudonormowanej przestrzeni wektorowej) można zapisać w całości w kategoriach metryki; możemy również podać prawo równoległoboku w następujący sposób:

W definicjach prawdopodobnie najczęściej widzi się metrykę wprowadzoną tylko po to, by podać wymóg kompletności. Istotnie, (1) mówi, że ciąg sum częściowych jest ciągiem Cauchy’ego, natomiast (2) mówi, że ciąg sum częściowych zbiega do SS.

Przestrzenie Hilberta jako przestrzenie konforemne

Dane są dwa wektory xx i yy, oba niezerowe, niech kąt między nimi będzie kątem θ(x,y)\theta(x,y), którego cosinusem jest

(Zauważ, że ten kąt może być urojony w ogólności, ale nie dla przestrzeni Hilberta nad âmathbb{R}.)

Przestrzeni Hilberta nie można jednak zrekonstruować całkowicie z jej kątów (nawet biorąc pod uwagę bazową przestrzeń wektorową). Produkt wewnętrzny może być odzyskany tylko do dodatniego współczynnika skali.

Morfizmy przestrzeni Hilberta

Patrz dyskusja w przestrzeni Banacha. Jest tu więcej do powiedzenia na temat dualności (w tym dlaczego teoria przestrzeni Hilberta jest nieco milsza nad â’mathbb{C}, podczas gdy teoria przestrzeni Banacha jest nieco milsza nad â’mathbb{R}).

Przykłady

Przestrzenie Banacha

Wszystkie pp-parametryczne przykłady w przestrzeniach Banacha mają zastosowanie, jeśli przyjmiemy p=2p = 2.

W szczególności, nn-wymiarowa przestrzeń wektorowa â n\mathbb{C}^n jest złożoną przestrzenią Hilberta z

Każde podpole KK z â nathbb{C} daje dodatnio definiowalną przestrzeń iloczynu wewnętrznego K nK^n, której dopełnieniem jest albo â nathbb{R}^n albo â nathbb{C}^n. W szczególności, przestrzeń kartezjańska â n\mathbb{R}^n jest rzeczywistą przestrzenią Hilberta; geometryczne pojęcia odległości i kąta zdefiniowane powyżej zgadzają się ze zwykłą geometrią euklidesową dla tego przykładu.

Of Lebesgue square-integrable functions over a manifold

The L- Hilbert spaces L 2(â)L^2(\mathbb{R}), L 2()L^2(), L 2(â 3)L^2(\mathbb{R}^3), etc (real or complex) are very well known. W ogólności L 2(X)L^2(X) dla XX przestrzeni miar składa się z prawie wszędzie zdefiniowanych funkcji ff z XX do pola skalarnego (â’mathbb{R} lub â’mathbb{C}) takich, że â’f| 2 ’int |f|^2 zbiega do skończonej liczby, przy czym funkcje są utożsamiane, jeśli są prawie wszędzie równe; mamy â¨f,gâ©=â „f¯g¯langle f, g|rangle = \int \bar{f} g, która jest zbieżna przez nierówność CauchyâSchwarza. W wymienionych szczególnych przypadkach (i ogólnie, gdy XX jest lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa), możemy również otrzymać tę przestrzeń przez dopełnienie dodatnio definiowanej przestrzeni wewnętrznego iloczynu zwartych funkcji ciągłych.

Of square-integrable half-densities

• canonical Hilbert space of half-densities

Properties

Bases

Podstawowym wynikiem jest to, że abstrakcyjnie przestrzenie Hilberta są wszystkie tego samego typu: każda przestrzeń Hilberta HH dopuszcza ortonormalną bazę, czyli podzbiór SâHS \u0026apos; H, którego mapa inkluzji rozciąga się (koniecznie jednoznacznie) na izomorfizm

przestrzeni Hilberta. Tutaj l 2(S)l^2(S) jest przestrzenią wektorową składającą się z tych funkcji xx od SS do pola skalarnego takich, że

przekształca się w liczbę skończoną; można to również uzyskać przez uzupełnienie przestrzeni wektorowej formalnych kombinacji liniowych elementów SS iloczynem wewnętrznym jednoznacznie określonym regułą

, w której δ uv ¨delta_{u v} oznacza deltę Kroneckera. Mamy zatem, w l 2(S)l^2(S),

(Ta suma jest zbieżna przez nierówność CauchyâSchwarza.)

W ogólności, ten wynik używa aksjomatu wyboru (zwykle w postaci lematu Zorna i wyłączonego środka) w swoim dowodzie, i jest z nim równoważny. Jednakże, wynik dla separowalnych przestrzeni Hilberta wymaga tylko zależnego wyboru, a więc jest konstruktywny według standardów większości szkół. Nawet bez zależnego wyboru, wyraźne ortorormalne bazy dla poszczególnych L 2(X)L^2(X) mogą być często produkowane przy użyciu technik aproksymacji tożsamości, często w porozumieniu z procesem Grama-Schmidta.

W szczególności, wszystkie nieskończenie wymiarowe separowalne przestrzenie Hilberta są abstrakcyjnie izomorficzne do l 2(â)l^2(\N).

Nierówność Cauchy’egoâSchwarza

Nierówność Schwarza (lub Cauchy’egoââ½Ñк¾Ð²ÑкйââSchwarz inequality, etc) jest bardzo przydatna: