Operacja wyrażeń racjonalnych może wydawać się trudna dla niektórych uczniów, ale zasady mnożenia wyrażeń są takie same dla liczb całkowitych. W matematyce liczbę racjonalną definiuje się jako liczbę, która jest postaci p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi, a q nie jest równe zero.

Przykładami liczb racjonalnych są: 2/3, 5/8, -3/14, -11/-5, 7/-9, 7/-15 i -6/-11 itd.

Wyrażenie algebraiczne to wyrażenie matematyczne, w którym zmienne i stałe łączy się za pomocą symboli operacyjnych (+, -, × & ÷).

Na przykład 10x + 63 i 5x – 3 są przykładami wyrażeń algebraicznych. Podobnie, wyrażenie racjonalne ma postać p/q i albo albo zarówno p jak i q są wyrażeniami algebraicznymi.

Przykłady wyrażeń racjonalnych obejmują: 3/ (x – 3), 2/ (x + 5), (4x – 1)/3, (x2 + 7x)/6, (2x + 5)/ (x2 + 3x – 10), (x + 3)/(x + 6) etc.

Jak mnożyć wyrażenia racjonalne?

W tym artykule, mamy zamiar dowiedzieć się, jak mnożyć wyrażenia racjonalne, ale przed tym, przypomnijmy sobie dwa ułamki są mnożone.

Mnożenie dwóch ułamków polega na znalezieniu iloczynu licznika pierwszego i drugiego ułamka oraz iloczynu mianownika. Innymi słowy, mnożenie dwóch liczb racjonalnych jest równe iloczynowi liczników i mianowników.

Alternatywnie, można wykonać mnożenie wyrażeń racjonalnych poprzez; najpierw faktoryzację i unieważnienie licznika i mianownika, a następnie mnożenie pozostałych czynników.

Poniżej znajdują się kroki wymagane do mnożenia wyrażeń racjonalnych:

• Faktoryzacja zarówno mianownika jak i licznika każdego wyrażenia.
• Redukuj wyrażenia do najmniejszych możliwych wyrazów tylko wtedy, gdy czynniki w licznikach i mianownikach są wspólne lub podobne.
• Mnóż razem pozostałe wyrażenia.

Przykład 1

Mnożenie 3/5y * 4/3y

Rozwiązanie

Rozdzielnie mnożymy liczniki i mianowniki;

3/5y * 4/3y = (3 * 4)/ (5y * 3y)

= 12/15y 2

Zmniejsz ułamek przez anulowanie przez 3;

12/15y 2 = 4/5y2

Przykład 2

Mnóż {(12x – 4x 2)/ (x 2 + x -12)} * {(x 2 + 2x -8)/ (x 3-4x)}

Rozwiązanie

Wykreśl oba liczniki i mianowniki każdego z wyrażeń;

= {- 4x (x – 3)/(x-3) (x + 4)} * {(x – 2) (x + 4)/x (x + 2) (x – 2)}

Redukuj lub anuluj wyrażenia i przepisz pozostały ułamek;

= -4/ x + 2

Przykład 3

Mnożymy (x 2 – 3x – 4/x 2 -x -2) * (x 2 – 4/ x2 + x – 20).

Rozwiązanie

Współczynniki liczników i mianowników wszystkich wyrażeń;

= (x – 4) (x + 1)/ (x + 1) (x – 2) * (x + 2) (x – 2)/ (x – 4) (x + 5)

Wykreśl i przepisz pozostałe współczynniki;

= x + 2/ x + 5

Przykład 4

Mnożenie

(9 – x 2/x 2 + 6x + 9) * (3x + 9/3x – 9)

Rozwiązanie

Współczynniki liczników i mianowników oraz anulowanie czynników wspólnych;

= – 1 (x + 3) (x – 3)/ (x + 3)2 * 3(x + 3)/3(x – 30

= -1

Przykład 5

Przykład: (x2+5x+4) * (x+5)/(x2-1)

Rozwiązanie

Poprzez faktoryzację licznika i mianownika otrzymujemy;

=>(x+1) (x+4) (x+5)/(x+1) (x-1)

Po anulowaniu wspólnych wyrazów otrzymujemy;

=>(x+4) (x+5)/x-1

Przykład 6

Mnożymy ((x + 5) / (x – 4)) * (x / x + 1)

Rozwiązanie

= ((x + 5) * x) / ((x – 4) * (x + 1))

= (x2 + 5x) / (x2 – 4x + x – 4)

= (x2 + 5x) / (x2 – 3x- 4)

Gdy mnożymy liczbę całkowitą przez wyrażenie algebraiczne, po prostu mnożymy liczbę przez licznik tego wyrażenia.

Jest to możliwe, ponieważ każda liczba całkowita ma zawsze mianownik równy 1. I dlatego reguły mnożenia między wyrażeniem a całością nie zmieniają się.

Patrz przykład 7 poniżej:

Przykład 7

Mnożenie ((x + 5) / (x2 – 4)) * x

Rozwiązanie

= ((x + 5) / (x2 – 4)) * x / 1

= (x + 5) * x / (x2 – 4) × 1

= (x2 + 5x) / (x2 – 4)

Pytania praktyczne

Uprość następujące wyrażenia racjonalne:

Odpowiedzi

.