Biografia
Rodzice Leopolda Kroneckera byli dobrze sytuowani, jego ojciec, Isidor Kronecker, był odnoszącym sukcesy biznesmenem, podczas gdy jego matką była Johanna Prausnitzer, która również pochodziła z zamożnej rodziny. Rodziny były żydowskie, religię tę Kronecker wyznawał do roku przed śmiercią, kiedy to przeszedł na chrześcijaństwo. Rodzice Kroneckera zatrudniali prywatnych korepetytorów, którzy uczyli go aż do momentu wstąpienia do gimnazjum w Liegnitz, co dało mu bardzo solidne podstawy wykształcenia.
Kronecker był uczony matematyki w gimnazjum w Liegnitz przez Kummera i to właśnie dzięki Kummerowi Kronecker zainteresował się matematyką. Kummer od razu rozpoznał talent matematyczny Kroneckera i zachęcał go do podejmowania badań naukowych, wykraczających poza to, czego można było oczekiwać w szkole. Mimo żydowskiego wychowania Kronecker otrzymał w gimnazjum luterańską naukę religii, co z pewnością świadczy o otwartości religijnej jego rodziców.
Kronecker został w 1841 r. studentem Uniwersytetu Berlińskiego i studiował tam pod kierunkiem Dirichleta i Steinera. Nie ograniczał się jednak do studiowania matematyki, ale studiował również inne dziedziny, takie jak astronomia, meteorologia i chemia. Szczególnie interesował się filozofią, studiując dzieła filozoficzne Kartezjusza, Leibniza, Kanta, Spinozy i Hegla. Po spędzeniu lata 1843 r. na uniwersytecie w Bonn, na który udał się ze względu na swoje zainteresowanie astronomią, a nie matematyką, udał się na semestr zimowy 1843-44 na uniwersytet we Wrocławiu. Powodem wyjazdu do Breslau było z pewnością zainteresowanie matematyką, ponieważ chciał ponownie studiować u swojego dawnego nauczyciela Kummera, który w 1842 r. został powołany na katedrę we Wrocławiu.
Kronecker spędził rok we Wrocławiu, po czym wrócił do Berlina na semestr zimowy w latach 1844-45. W Berlinie pracował pod kierunkiem Dirichleta nad swoją pracą doktorską z algebraicznej teorii liczb. Pracę, zatytułowaną O jednostkach zespolonych, złożył 30 lipca 1845 r., a 14 sierpnia przystąpił do niezbędnego egzaminu ustnego. Dirichlet skomentował pracę, twierdząc, że Kronecker wykazał się w niej:-
… niezwykłą przenikliwością, wielką pracowitością i dokładną znajomością aktualnego stanu matematyki wyższej.
Dla wielu doktorantów może być zaskoczeniem, że Kronecker był w tym samym czasie w szkole. może być zaskoczeniem dla wielu doktorantów, że Kronecker był pytany na ustnym z szerokiego zakresu tematów, w tym z teorii prawdopodobieństwa stosowanej do obserwacji astronomicznych, teorii całek skończonych, szeregów i równań różniczkowych, a także z greki i historii filozofii.
Jacobi miał problemy zdrowotne, które spowodowały, że musiał opuścić Królewiec, gdzie zajmował katedrę, i wrócić do Berlina. Eisenstein, którego zdrowie również było słabe, wykładał w tym czasie w Berlinie i Kronecker dobrze poznał obu panów. Kierunek, w jakim poszły później matematyczne zainteresowania Kroneckera, miał wiele wspólnego z wpływem Jacobiego i Eisensteina z tego okresu. Jednak gdy wydawało się, że rozpocznie karierę naukową, Kronecker opuścił Berlin, by zająć się sprawami rodzinnymi. Pomagał w prowadzeniu interesów bankowych brata matki, a w 1848 roku ożenił się z córką tego wuja, Fanny Prausnitzer. Zarządzał też rodzinnym majątkiem, ale znajdował czas na pracę nad matematyką, choć robił to wyłącznie dla własnej przyjemności.
Z pewnością Kronecker nie musiał podejmować pracy zarobkowej, gdyż był już człowiekiem zamożnym. Jego radość z matematyki sprawiła jednak, że gdy w 1855 r. zmieniły się okoliczności i nie musiał już mieszkać w posiadłości pod Liegnitz, wrócił do Berlina. Nie życzył sobie posady uniwersyteckiej, chciał raczej brać udział w życiu matematycznym uniwersytetu i podejmować badania w interakcji z innymi matematykami.
W 1855 r. Kummer przybył do Berlina, aby wypełnić wakat, który powstał po wyjeździe Dirichleta do Getyngi. Borchardt wykładał w Berlinie od 1848 r., a pod koniec 1855 r., po śmierci Crelle’a, przejął redakcję czasopisma Crelle’a. W 1856 roku do Berlina przybył Weierstrass, tak więc w ciągu roku od powrotu Kroneckera w Berlinie działał niezwykły zespół złożony z Kummera, Borchardta, Weierstrassa i Kroneckera.
Oczywiście, ponieważ Kronecker nie miał nominacji uniwersyteckiej, nie prowadził w tym czasie wykładów, ale był niezwykle aktywny badawczo, publikując w krótkim czasie wiele prac. Dotyczyły one teorii liczb, funkcji eliptycznych i algebry, ale, co ważniejsze, badał wzajemne powiązania między tymi tematami. W 1860 r. Kummer zgłosił kandydaturę Kroneckera na członka Akademii Berlińskiej, którą poparli Borchardt i Weierstrass. 23 stycznia 1861 r. Kronecker został wybrany do Akademii, co przyniosło mu zaskakujące korzyści.
Członkowie Akademii Berlińskiej mieli prawo do wykładania na Uniwersytecie Berlińskim. Chociaż Kronecker nie był zatrudniony na Uniwersytecie, ani w żadnej innej organizacji, Kummer zasugerował, aby Kronecker skorzystał z prawa do wykładania na Uniwersytecie, co też uczynił, zaczynając od października 1862 roku. Tematy, na które wykładał, były bardzo związane z jego badaniami: teoria liczb, teoria równań, teoria wyznaczników i teoria całek. W swoich wykładach :-
starał się uprościć i udoskonalić istniejące teorie oraz przedstawić je z nowych perspektyw.
Dla najlepszych studentów jego wykłady były wymagające, ale stymulujące. Nie był jednak popularnym nauczycielem wśród przeciętnych studentów :-
Kronecker nie przyciągał wielkiej liczby studentów. Tylko nieliczni z jego słuchaczy byli w stanie podążać za lotami jego myśli i tylko nieliczni wytrwali do końca semestru.
Berlin był dla Kroneckera tak atrakcyjny, że gdy w 1868 r. zaproponowano mu objęcie katedry matematyki w Getyndze, odmówił. Przyjął jednak zaszczyty, takie jak wybór do Akademii Paryskiej w tym samym roku i przez wiele lat utrzymywał dobre stosunki z kolegami z Berlina i innych miast. Aby zrozumieć, dlaczego w latach siedemdziesiątych XIX wieku stosunki zaczęły się pogarszać, musimy przyjrzeć się bliżej matematycznemu wkładowi Kroneckera.
Wskazaliśmy już, że główny wkład Kroneckera dotyczył teorii równań i wyższej algebry, a jego główne prace dotyczyły funkcji eliptycznych, teorii równań algebraicznych i teorii liczb algebraicznych. Tematy, które badał, były jednak ograniczone przez fakt, że wierzył on w redukcję całej matematyki do argumentów obejmujących tylko liczby całkowite i skończoną liczbę kroków. Kronecker jest znany ze swojej uwagi:
Bóg stworzył liczby całkowite, wszystko inne jest dziełem człowieka.
Kronecker uważał, że matematyka powinna zajmować się tylko skończonymi liczbami i skończoną liczbą operacji. Jako pierwszy podał w wątpliwość znaczenie niekonstruktywnych dowodów istnienia. Wydaje się, że od początku lat 70. XIX wieku Kronecker był przeciwny stosowaniu liczb irracjonalnych, górnych i dolnych granic oraz twierdzenia Bolzano-Weierstrassa, ze względu na ich niekonstruktywny charakter. Inną konsekwencją jego filozofii matematyki było to, że dla Kroneckera liczby transcendentalne nie mogły istnieć.
W 1870 roku Heine opublikował pracę O szeregach trygonometrycznych w Crelle’s Journal, ale Kronecker próbował przekonać Heinego do wycofania pracy. Ponownie w 1877 roku Kronecker próbował zapobiec publikacji pracy Cantora w Crelle’s Journal, nie z powodu osobistych uczuć wobec Cantora (co sugerują niektórzy biografowie Cantora), ale raczej dlatego, że Kronecker uważał pracę Cantora za bezsensowną, ponieważ dowodziła ona wyników dotyczących obiektów matematycznych, które zdaniem Kroneckera nie istnieją. Kronecker był członkiem redakcji Crelle’s Journal i dlatego miał szczególnie duży wpływ na to, co ukazywało się w tym czasopiśmie. Po śmierci Borchardta w 1880 roku Kronecker przejął kontrolę nad Crelle’s Journal jako redaktor i jego wpływ na to, które prace będą publikowane, wzrósł.
Seminarium matematyczne w Berlinie zostało założone w 1861 roku wspólnie przez Kummera i Weierstrassa, a kiedy Kummer przeszedł na emeryturę w 1883 roku, Kronecker został współdyrektorem seminarium. Zwiększyło to wpływy Kroneckera w Berlinie. Kronecker zyskał również międzynarodową sławę, a 31 stycznia 1884 r. został wybrany na członka zagranicznego Royal Society of London. W czasie licznych podróży zagranicznych i gościnności w swoim berlińskim domu nawiązywał kontakty z zagranicznymi naukowcami. Z tego powodu często proszono go o radę w sprawie obsadzania profesur matematycznych zarówno w Niemczech, jak i w innych krajach; jego rekomendacje były prawdopodobnie równie znaczące jak rekomendacje jego dawnego przyjaciela Weierstrassa.Pomimo że poglądy Kroneckera na matematykę były dobrze znane jego kolegom przez całe lata siedemdziesiąte i osiemdziesiąte XIX wieku, to dopiero w 1886 roku ujawnił je publicznie. W tym roku polemizował z teorią liczb irracjonalnych stosowaną przez Dedekinda, Cantora i Heinego, podając argumenty, za pomocą których sprzeciwiał się:-
… wprowadzeniu różnych pojęć, za pomocą których często próbowano w ostatnich czasach (ale najpierw przez Heinego) pojmować i ustanawiać „irracjonalne” w ogóle. Nawet pojęcie szeregu nieskończonego, na przykład takiego, który wzrasta według określonych potęg zmiennych, jest moim zdaniem dopuszczalne tylko z tym zastrzeżeniem, że w każdym szczególnym przypadku, na podstawie arytmetycznych praw konstruowania wyrazów (lub współczynników), … należy wykazać, że istnieją pewne założenia, które odnoszą się do serii jak do wyrażeń skończonych, i które w ten sposób sprawiają, że rozszerzenie poza pojęcie serii skończonej jest naprawdę niepotrzebne.
Lindemann udowodnił, że π jest transcendentalne w 1882 roku, a w wykładzie wygłoszonym w 1886 roku Kronecker pochwalił Lindemanna za piękny dowód, ale, jak twierdził, taki, który niczego nie dowodzi, ponieważ liczby transcendentalne nie istnieją. Kronecker był więc konsekwentny w swoich argumentach i przekonaniach, ale wielu matematyków, dumnych ze swoich ciężko wypracowanych wyników, uważało, że Kronecker próbuje zmienić kierunek rozwoju matematyki i wypisać ich kierunek badań z przyszłego rozwoju. Kronecker wyjaśnił swój program oparty na badaniu tylko takich obiektów matematycznych, które można skonstruować za pomocą skończonej liczby operacji na liczbach całkowitych w Über den Zahlbergriff Ⓣ w 1887 roku.
Inną cechą osobowości Kroneckera było to, że miał tendencję do osobistego spierania się z tymi, z którymi nie zgadzał się matematycznie. Oczywiście, biorąc pod uwagę jego przekonanie o istnieniu tylko skończenie konstruowalnych obiektów matematycznych, był całkowicie przeciwny rozwijającym się ideom Cantora w teorii zbiorów. Nie tylko matematyka Dedekinda, Heinego i Cantora była nie do przyjęcia dla tego sposobu myślenia, a Weierstrass odniósł wrażenie, że Kronecker próbuje przekonać następne pokolenie matematyków, że praca Weierstrassa nad analizą jest bezwartościowa.
Kronecker nie miał oficjalnego stanowiska w Berlinie aż do przejścia Kummera na emeryturę w 1883 r., kiedy to został powołany na katedrę. Ale w 1888 roku Weierstrass czuł, że nie może już dłużej pracować z Kroneckerem w Berlinie i zdecydował się wyjechać do Szwajcarii, ale potem, zdając sobie sprawę, że Kronecker będzie miał silną pozycję, aby wpłynąć na wybór jego następcy, zdecydował się pozostać w Berlinie.
Kronecker był bardzo drobnej postury i bardzo samoświadomy swojego wzrostu. Przykładem reakcji Kroneckera było wysłanie mu w 1885 roku przez Schwarza pozdrowienia, które zawierało zdanie:
Kto nie czci mniejszego, nie jest godzien większego.
Schwarz żartował tu z małego Kroneckera i dużego Weierstrassa. Kronecker nie dostrzegł jednak zabawnej strony tego komentarza i nie miał już nigdy więcej do czynienia ze Schwarzem (który był uczniem Weierstrassa i zięciem Kummera). Inni wykazywali jednak więcej taktu i na przykład Helmholtzowi, który od 1871 r. był profesorem w Berlinie, udało się pozostać w dobrych stosunkach z Kroneckerem.
W 1890 r. utworzono Deutsche Mathematiker-Vereinigung, a we wrześniu 1891 r. w Halle zorganizowano pierwsze spotkanie stowarzyszenia. Pomimo gorzkiego antagonizmu między Cantorem a Kroneckerem, Cantor zaprosił Kroneckera do wygłoszenia przemówienia na tym pierwszym spotkaniu jako wyraz szacunku dla jednej ze starszych i najwybitniejszych postaci niemieckiej matematyki. Kronecker jednak nigdy nie przemówił, ponieważ jego żona została latem ciężko ranna w wypadku podczas wspinaczki i zmarła 23 sierpnia 1891 roku. Kronecker przeżył swoją żonę tylko o kilka miesięcy i zmarł w grudniu 1891 roku.
Nie powinniśmy sądzić, że poglądy Kroneckera na matematykę były całkowicie ekscentryczne. Chociaż prawdą było, że większość matematyków w jego czasach nie zgodziłaby się z tymi poglądami, i rzeczywiście większość matematyków dzisiaj nie zgodziłaby się z nimi, nie zostały one odłożone na bok. Idee Kroneckera były dalej rozwijane przez Poincarégo i Brouwera, którzy kładli szczególny nacisk na intuicję. Intuicjonizm podkreśla, że matematyka ma pierwszeństwo przed logiką, obiekty matematyczne są konstruowane i operowane w umyśle przez matematyka, a niemożliwe jest zdefiniowanie własności obiektów matematycznych po prostu przez ustalenie pewnej liczby aksjomatów.
.