As the New Horizons spacecraft is approaching Pluto, it’s getting some great shots. Poniższa animacja pokazuje Plutona i Charona jak krążą wokół siebie.
Gdy planeta (lub planeta karłowata) ma satelitę, możesz użyć ruchu tego obiektu, aby znaleźć masę planety. Nie jest to zbyt trudne. W rzeczywistości, użyjmy powyższej animacji, aby oszacować masę Plutona. Ok, jest tylko jedna rzecz, której nie ma w filmie. Musimy znać odległość od Charona do Plutona. Właściwie, gdybym znał kątowe pole widzenia kamery, mógłbym uzyskać odległość orbitalną z kątowej separacji pomiędzy dwoma obiektami. Jednak dla tego przykładu po prostu sprawdzę tę wartość i użyję odległości Pluton-Charon wynoszącej 1,957 x 107 m.
Ponadto, kilka innych uwag na temat tego filmu Pluton-Charon.
- Sekwencja obrazów pokazuje Plutona i Charona w miarę zbliżania się statku kosmicznego do tych dwóch obiektów. Oznacza to, że skala odległości zmienia się w każdej klatce.
- Ten film jest względny do środka masy orbity Charon-Pluton. Widać, że zarówno Pluton jak i Charon krążą wokół wspólnego centrum.
- Nie oglądamy orbity z całkowicie prostopadłego kąta. Oznacza to, że Charon nie wydaje się poruszać po okręgu (chociaż w istocie tak jest).
Podstawowa fizyka
Do rozwiązania tego problemu potrzebujemy tylko dwóch zasad fizyki – siły grawitacji i przyspieszenia obiektu poruszającego się po okręgu. Zacznijmy od grawitacji.
Model oddziaływania grawitacyjnego mówi, że na obiekty o masie działa siła przyciągająca. Wielkość tej siły jest proporcjonalna do iloczynu mas dwóch oddziałujących obiektów i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między obiektami. Mogę zapisać wielkość tej siły jako:
G jest tylko stałą, więc nie przejmuj się tym. Ale jest jeszcze jedna rzecz, która jest ważna. Siła grawitacji zawsze przyciąga dwa obiekty do siebie i jest w kierunku drugiego obiektu.
Innym ważnym pomysłem jest rozważenie przyspieszenia obiektu poruszającego się po okręgu – tak, zarówno Pluton jak i Charon poruszają się po okręgu wokół wspólnego środka. Oto diagram (ale nie w skali).
Każdy obiekt poruszający się po okręgu (nawet ze stałą prędkością) będzie przyspieszał. Kierunek tego przyspieszenia będzie skierowany do środka okręgu, a jego wielkość będzie zależała zarówno od prędkości kątowej, jak i od promienia okręgu. Przyspieszenie to można zapisać jako:
Tutaj ω jest prędkością kątową obiektu w radianach na sekundę. Ale myślę, że jest jeszcze jedna rzecz z fizyki, na którą warto zwrócić uwagę: związek między siłą a przyspieszeniem. Po prostu, im większa jest siła netto działająca na obiekt, tym większe jest jego przyspieszenie.
Teraz, aby złożyć to wszystko w całość. Siła to siła grawitacji, a przyspieszenie wynika z ruchu po okręgu. Jest jeden haczyk. Jeśli napiszę to dla ruchu Charona to siła grawitacji użyje odległości od Charona do Plutona, ale przyspieszenie użyje odległości od Charona do centrum ruchu obrotowego. Żeby było jasne, odległość między obiektami będę nazywał r, a promień kołowej orbity Charona będzie rc. Ponadto, ponieważ siła grawitacji (jedyna siła) jest w tym samym kierunku co przyspieszenie, mogę to zapisać jako równanie skalarne.
Masa Charona się znosi, więc mogę rozwiązać dla masy Plutona.
Więc wszystko czego potrzebuję to dwie odległości i prędkość kątowa orbity Charona.
Odnajdywanie wartości
Już powiedziałem, że zamierzam sprawdzić odległość od Plutona do Charona. Jednak potrzebuję odległości od Charona do środka okręgu orbitalnego. Przez przeskakiwanie przez klatki animacji, mogę znaleźć tę, która pokazuje Charona i Plutona najdalej od siebie – to w tym momencie mogę zobaczyć pełny rozmiar orbity (bez perspektywy). Używając tego obrazu i odległości od Plutona do Charona, otrzymuję okrągły promień orbity 1.69 x 107 m.
Teraz potrzebuję tylko prędkości kątowej orbity. Jeżeli I wybierać rama z Charon prawie nad Pluto i wtedy gdy ono być prawie pod ono, to być pół orbita. Patrząc na znaczniki czasu na każdej klatce, dałoby to czas około 3.2 dnia (276,480 sekund). To dałoby prędkość kątową jako:
Używając stałej grawitacyjnej G = 6.67 x 10-11 N*m2/kg2 mogę umieścić wszystkie moje wartości, aby obliczyć masę. Przeliczając liczby, otrzymuję masę Plutona wynoszącą 1,24 x 1022 kg. BUM. To jest całkiem blisko wartości podanej na 22Wikipedii, gdzie wartość wynosi 1.3 x 1022. Uważam, że jest to wystarczająco blisko, aby liczyć się jako wygrana.
Co z masą Charona? Ty móc ten ten sam pomysł i the orbitalny odległość dla Pluto’s orbita i dostać masowy szacunek. To jest zadanie domowe dla Ciebie.
Model numeryczny
Tylko dla zabawy, tutaj jest model numeryczny pokazujący ruch Plutona i Charona.
Powyższy kod jest na trinket.io. Oznacza to, że możesz zarówno patrzeć na kod, jak i zmieniać go. Spróbuj zmienić masy planet i zobacz co się stanie. Zauważ, że jeśli początkowe momenty pędu dwóch planet nie sumują się do wektora zerowego, środek masy nie pozostaje nieruchomy. To zabawna rzecz.