Morrow pochodzi z hokejowej rodziny. Jego ojciec, Dave Morrow, grał dla Indianapolis Racers w World Hockey Association.

Pittsburgh Penguins wybrali Morrowa w pierwszej rundzie (nr 23) draftu NHL 2011, ale nigdy nie zagrał dla nich meczu po podpisaniu kontraktu 3 sierpnia 2011.

Zagrał jeszcze jeden sezon dla Portland w Western Hockey League, kończąc z 64 punktami (17 goli, 47 asyst) w 62 meczach. Morrow spędził większość sezonu 2012-13 z Wilkes-Barre/Scranton z American Hockey League, zanim został sprzedany do Dallas Stars w dniu 24 marca 2013.

W dniu 4 lipca 2013 roku, Morrow został pozyskany przez Boston Bruins jako część ośmiu graczy handlu, który wysłał forward Tyler Seguin do Stars. Morrow zadebiutował w NHL z Bruins 30 października 2014 r., I zdobył swoją pierwszą bramkę NHL przeciwko Penguins 24 listopada. Jednak po rozegraniu trzech kolejnych meczów został wysłany do Providence z AHL na resztę sezonu.

Morrow zagrał 33 mecze dla Bruins w 2015-16 i 17 w 2016-17 przed podpisaniem z Montreal Canadiens jako wolny agent 1 lipca 2017 roku. Miał swój najlepszy ofensywny sezon w NHL (pięć goli, sześć asyst) w 38 meczach, zanim został pozyskany przez Winnipeg Jets 26 lutego 2018 r.

Morrow miał pięć punktów (jeden gol, cztery asysty) w 18 meczach dla Jets. Opatrzył sześć z ich 17 meczów w Stanley Cup Playoffs, w tym zdobywając zwycięską bramkę w Game 1 of the Western Conference First Round przeciwko Minnesota Wild.

The Jets podpisali Morrow do rocznego kontraktu 26 czerwca 2018 roku.

NOTES & TRANSAKCJE

• WHL West First All-Star Team (2012)
• Traded to Dallas by Pittsburgh with Pittsburgh’s 5th round pick (Matej Paulovic) in 2013 NHL Draft for Brenden Morrow and Minnesota’s 3rd round pick (previously acquired, Pittsburgh selected Jake Guentzel) in 2013 NHL Draft, March 24, 2013.
• Traded to Boston by Dallas with Loui Eriksson, Reilly Smith and Matt Fraser for Tyler Seguin, Rich Peverley and Ryan Button, July 4, 2013.
• Signed as a free agent by Montreal, July 1, 2017.
• Traded to Winnipeg by Montreal for Winnipeg’s 4th round pick in 2018 NHL Draft, February 26, 2018.
• Signed as a free agent by New Jersey, October 6, 2019.

.