L’integrale di Lebesgue funziona calcolando il valore di un integrale in base ai valori yyy invece che ai valori xxx.

Lascia

f(x)={14 se 0≤x≤3412 se 34<x≤1.f(x)={begin} \frac{1}{4} \testo{ se } 0\leq x\leq \frac{3}{4}\\\\ \frac{1}{2}{text{ se } \frac{3}{4}<xleq 1. \fine{casi}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧41 se 0≤x≤4321 se 43<x≤1.

Qual è il valore di ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx?

Questo grafico consiste di due segmenti di linea, quindi l’area sotto di esso può essere pensata come due rettangoli, quindi l’integrale ha valore 34⋅14+14⋅12=516.↪Sm_22frac{3}{4}{cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4}{4}=\frac{5}{16}.43⋅41+41⋅21=165.Quando usiamo l’integrale di Riemann però, in realtà stiamo pensando a questo in modo leggermente diverso: stiamo disegnando molti rettangoli più piccoli, e li stiamo usando per “approssimare” i rettangoli grandi, anche se in questo caso l’approssimazione è esatta.

L’integrale di Lebesgue pensa a questo problema in modo diverso: la funzione fff prende solo i valori 14\frac1441 e 12\frac1221, quindi consideriamo la dimensione degli insiemi su cui fff prende quei valori. Essi sono 34\frac3443 e 14\frac1441 rispettivamente, quindi l’area totale deve essere 14⋅34+12⋅14=516. □\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{5}{16}.\ _\square41⋅43+21⋅41=165. □

In questo caso, la distinzione tra i due modi di pensare l’area non ha senso, ma come mostra il seguente esempio, non è sempre così.

Lascia che

f(x)={1 se x è razionale0 se x è irrazionale. f(x)=\begin{ casi} 1\testo{ se } x è razionale}\\\\ 0\testo{ se x è irrazionale}. \f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1 se x è razionale0 se x è irrazionale.

Qual è il valore di ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx?

Se cerchiamo di usare l’integrale di Riemann qui, poiché ogni intervallo contiene infiniti numeri razionali e irrazionali, il grafico di questa funzione non può essere approssimato da rettangoli, quindi l’area non può essere calcolata usando l’integrale di Riemann. Ma usando la prospettiva dell’integrale di Lebesgue, poiché fff assume solo due valori, 0 e 1, tutto quello che dobbiamo fare è pensare alle dimensioni degli insiemi su cui assume quei valori e poi moltiplicare per i valori appropriati.

Ci sono solo numerosissimi razionali e numerosissimi irrazionali, quindi la misura dei razionali in (0,1)(0,1)(0,1) è 0, e la misura degli irrazionali è 1. Poiché fff assume il valore di 1 in corrispondenza delle razionali, esse contribuiscono 0⋅1=00\cdot 1=00⋅1=0 all’integrale; analogamente, le irrazionali contribuiscono 1⋅0=01\cdot 0=01⋅0=0. Quindi il valore dell’integrale è 0. □_\square□

In sostanza, l’integrale di Lebesgue guarda quanto spesso una funzione raggiunge un certo valore piuttosto che il valore di una funzione in un punto particolare. Secondo Reinhard Siegmund-Schultze, Lebesgue stesso spiegò questa idea in una lettera a Paul Montel, scrivendo

“Devo pagare una certa somma, che ho raccolto in tasca. Prendo le banconote e le monete dalla mia tasca e le do al creditore nell’ordine in cui le trovo, finché non ho raggiunto la somma totale. Questo è l’integrale di Riemann. Ma posso procedere diversamente. Dopo aver preso tutto il denaro dalla mia tasca, ordino le banconote e le monete secondo valori identici e poi pago i vari mucchi uno dopo l’altro al creditore. Questo è il mio integrale.”