Il test di Friedman è un test non parametrico usato per verificare le differenze tra gruppi quando la variabile dipendente è almeno ordinale (potrebbe essere continua). Il test di Friedman è l’alternativa non parametrica all’ANOVA a una via con misure ripetute (o il disegno a blocchi completi e un caso speciale del test di Durbin). Se i dati sono significativamente diversi da quelli normalmente distribuiti, questo diventa il test preferito rispetto all’uso di un ANOVA.

La procedura del test classifica ogni riga (blocco) insieme, poi considera i valori delle classifiche per colonne. I dati sono organizzati in una matrice con B righe (blocchi) e T colonne (trattamenti) con una singola operazione in ogni cella della matrice.

Assunzioni

Come per quasi ogni test statistico, ci sono delle assunzioni da considerare. Qui illuminiamo quattro elementi da considerare:

1. C’è un gruppo di soggetti di test che vengono misurati in tre o più occasioni diverse.
2. Il gruppo è un campione casuale della popolazione.
3. La variabile dipendente è almeno un ordinale o un continuo (scale Likert, tempo, intelligente, percentuale corretta, ecc.)
4. I campioni non devono essere distribuiti normalmente.

Impostazione delle ipotesi

L’ipotesi nulla è gli effetti mediani del trattamento della popolazione sono tutti uguali. In breve, i trattamenti non hanno effetto.

L’ipotesi alternativa è che gli effetti non sono tutti uguali. Indica che c’è una differenza percettibile negli effetti del trattamento.

I dati che stiamo trattando riflettono la situazione in cui vogliamo confrontare T trattamenti con N soggetti. I soggetti sono assegnati casualmente ai vari gruppi. Il confronto è all’interno di ogni gruppo e non tra gruppi.

La statistica di test

Il confronto è dei risultati classificati dei dati ordinali o continui, assegnando un valore di classifica da 1, 2, a T per ciascuna delle righe B o trattamenti.

Siccome l’ipotesi nulla è che i trattamenti non abbiano effetto sulle classifiche, la somma delle classifiche per ogni colonna (trattamento) dovrebbe essere uguale.

La somma totale delle classifiche è BT(T+1)/2, quindi la somma delle classifiche di ogni trattamento, se uguale, dovrebbe essere relativamente vicina a B(T+1)/2. Quindi la statistica del test è una funzione della somma dei quadrati delle deviazioni tra le somme dei ranghi del trattamento (R1, R2, …, RT) e il valore atteso di B(T+1)/2.

La statistica del test, S, è

$$ \displaystyle\large S=\sum\limits_{t=1}^{T}{R_{t}^{2}-\frac{{B}^{2}}}T{{sinistra( T+1 \destra)}^{2}}}{4}}$$

Il valore critico

Ora abbiamo bisogno di confrontare la statistica del test con il valore critico per determinare se la deviazione è sufficiente per concludere che i trattamenti non sono tutti uguali. Qui ci viene in aiuto un software, come Minitab, R, o qualche altro pacchetto che ha le tabelle incorporate.

Qui c’è una tabella di eccezione per tre o quattro trattamenti. Se il tuo esperimento ha più trattamenti o un campione di grandi dimensioni potresti approssimare il valore critico usando una distribuzione chi-quadrato (ne parleremo un’altra volta).

Per T = 3 per vari valori di significatività

N	α <.10	α ≤.05	α <.01
3	6.00	6.00	–
4	6.00	6.50	8.00
5	5.20	6.40	8.40
6	5.33	7.00	9.00
7	5.43	7.14	8.86
8	5.25	6.25	9.00
9	5.56	6.22	8.67
10	5.00	6.20	9.60
11	4.91	6.54	8.91
12	5.17	6.17	8.67
13	4.77	6.00	9.39
∞	4.61	5.99	9.21

k=4 per vari valori di significato