A integral Lebesgue funciona calculando o valor de uma integral com base nos valores yyyy em vez de xxx-valores.

Let

f(x)={14 if 0≤x≤3412 if 34<x≤1.f(x)=\begin{cases} \Frac{1}{4} \texto (se) \Frac{3}{4}<x=x 1. \{cases}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧41 if 0≤x≤4321 if 43<x≤1.

Qual é o valor de ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx?

Este gráfico consiste em dois segmentos de linha, assim a área debaixo dele pode ser pensada como dois rectângulos, assim a integral tem o valor 34⋅14+14⋅12=516.\frac{3}{4}cdot {1}{4}+frac{1}{4}cdot {1}{2}=frac{5}{16}.43⋅41+41⋅21=165. Mas quando usamos a integral de Riemann, na verdade estamos pensando nisto de forma ligeiramente diferente: estamos desenhando muitos retângulos menores, e usando-os para “aproximar” os grandes retângulos, embora neste caso a aproximação seja exata.

A integral Lebesgue pensa sobre este problema de uma forma diferente: a função fff toma apenas os valores 14\frac1441 e 12\frac1221, por isso consideramos o tamanho dos conjuntos sobre os quais fff toma esses valores. Eles são 34\frac3443 e 14\frac1441 respectivamente, portanto a área total deve ser 14⋅34+12⋅14=516. □\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{5}{16}.\ _\square41⋅43+21⋅41=165. □

Neste caso, a distinção entre as duas formas de pensar sobre a área não tem sentido, mas como mostra o exemplo a seguir, nem sempre é este o caso.

Let

f(x)={1 se x for racional0 se x for irracional. f(x)=\begin{cases} 1\text{ if } xtexto (é racional)\\\\ 0texto (se {\i1}xtexto (é irracional)). \end{cases}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1 se x for racional0 se x for irracional.

Qual é o valor de ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx?

Se tentarmos usar a integral de Riemann aqui, porque cada intervalo contém infinitamente muitos números racionais e irracionais, o gráfico desta função não pode ser aproximado por retângulos, então a área não pode ser calculada usando a integral de Riemann. Mas usando a perspectiva da integral de Lebesgue, já que fff toma apenas dois valores, 0 e 1, tudo o que precisamos fazer é pensar no tamanho dos conjuntos sobre os quais está tomando esses valores e depois multiplicar pelos valores apropriados.

Existem apenas incontáveis racionais e incontáveis irracionais, então a medida dos racionais em (0,1)(0,1)(0,1) é 0, e a medida dos irracionais é 1. Como fff toma um valor 1 nos racionais, eles contribuem 0⋅1=00\cdot 1=00⋅1=0 para a integral; da mesma forma, os irracionais contribuem 1⋅0=01\cdot 0=01⋅0=0. Assim, o valor da integral é 0. □_\square□

Em essência, a integral Lebesgue está olhando para quantas vezes uma função atinge um certo valor em vez do valor de uma função em um determinado ponto. De acordo com Reinhard Siegmund-Schultze, o próprio Lebesgue explicou esta ideia numa carta a Paul Montel, escrevendo

“Tenho de pagar uma certa quantia, que recolhi no meu bolso. Tiro as notas e moedas do meu bolso e dou-as ao credor na ordem em que as encontro até ter atingido a soma total. Esta é a integral do Riemann. Mas eu posso proceder de outra forma. Depois de ter tirado todo o dinheiro do meu bolso, peço as notas e moedas de acordo com valores idênticos e depois pago as várias pilhas, uma após a outra, ao credor. Esta é a minha integral.”