A Lebesgue-integrál úgy működik, hogy egy integrál értékét xxx-értékek helyett yyy-értékek alapján számítja ki.

Legyen

f(x)={14 ha 0≤x≤3412 ha 34<x≤1.f(x)=\begin{cases} \frac{1}{4} \text{ if} 0\leq x\leq \frac{3}{4}\\\\ \frac{1}{2}\text{ if } \frac{3}{4}<x\leq 1. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧41 if 0≤x≤4321 if 43<x≤1.

Melyik a ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx értéke?

A grafikon két egyenes szakaszból áll, így az alatta lévő területet két téglalapnak gondolhatjuk, így az integrál értéke 34⋅14+14⋅12=516.\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{16}.43⋅41+41⋅21=165. Amikor azonban a Riemann-integrált használjuk, valójában kissé másképp gondolkodunk: sok kisebb téglalapot rajzolunk, és ezeket használjuk a nagy téglalap “közelítésére”, bár ebben az esetben a közelítés pontos.

A Lebesgue-integrál másképp gondolkodik erről a problémáról: az fff függvény csak a 14\frac1441 és 12\frac1221 értékeket veszi fel, tehát azoknak a halmazoknak a méretét tekintjük, amelyeken fff ezeket az értékeket veszi fel. Ezek 34\frac3443, illetve 14\frac1441, tehát a teljes területnek 14⋅34+12⋅14=516-nak kell lennie. □\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{5}{16}.\ _\square41⋅43+21⋅41=165. □

Ebben az esetben a területről való kétféle gondolkodásmód közötti különbségtétel értelmetlen, de mint a következő példa mutatja, ez nem mindig van így.

Legyen

f(x)={1 ha x racionális0 ha x irracionális. f(x)=\begin{cases} 1\text{ if } x\text{ racionális}\\\\ 0\text{ ha x\text{ irracionális}. \end{esetek}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1 ha x racionális0 ha x irracionális.

Melyik a ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx értéke?

Ha itt a Riemann-integrált próbáljuk használni, mivel minden intervallum végtelen sok racionális és irracionális számot tartalmaz, ennek a függvénynek a grafikonja nem közelíthető téglalapokkal, így a terület nem számítható ki a Riemann-integrál segítségével. De a Lebesgue-integrál szemszögéből nézve, mivel fff csak két értéket vesz fel, 0-t és 1-et, csak annyit kell tennünk, hogy elgondolkodunk azon halmazok méretén, amelyeken ezeket az értékeket felveszi, majd megszorozzuk a megfelelő értékekkel.

A (0,1)(0,1)(0,1)(0,1)-ben csak megszámlálhatóan sok racionális és megszámlálhatatlanul sok irracionális van, tehát a racionálisok mértéke 0, az irracionálisok mértéke pedig 1. A (0,1)(0,1)(0,1)-ben a racionálisok mértéke 0, az irracionálisoké pedig 1. Mivel fff a racionálisoknál 1 értéket vesz fel, ezek 0⋅1=00\cdot 1=00⋅1=0-val járulnak hozzá az integrálhoz; hasonlóképpen az irracionálisok 1⋅0=01\cdot 0=01⋅0=0-val járulnak hozzá, így az integrál értéke 0 lesz. □_\\square□

A Lebesgue-integrál lényegében azt vizsgálja, hogy egy függvény milyen gyakran ér el egy bizonyos értéket, nem pedig azt, hogy egy adott pontban milyen értéket vesz fel. Reinhard Siegmund-Schultze szerint maga Lebesgue fejtette ki ezt a gondolatot egy Paul Montelhez írt levelében

“Egy bizonyos összeget kell fizetnem, amelyet a zsebemben gyűjtöttem össze. Kiveszem a zsebemből a bankjegyeket és érméket, és a megtalált sorrendben odaadom őket a hitelezőnek, amíg el nem érem a teljes összeget. Ez a Riemann-integrál. De eljárhatok másképp is. Miután az összes pénzt kivettem a zsebemből, a bankjegyeket és érméket azonos értékek szerint rendezem, majd a több kupacot egymás után kifizetem a hitelezőnek. Ez az én integrálom.”