Se um polinómio tem apenas um indeterminado (polinómio univariado), então os termos são geralmente escritos do mais alto ao mais baixo grau (“potências descendentes”) ou do mais baixo grau ao mais alto grau (“potências ascendentes”). Um polinômio univariado em x de grau n toma então a forma geral exibida acima, onde
cn ≠ 0, cn-1, …, c2, c1 e c0
são constantes, os coeficientes do polinômio.
Aqui o termo cnxn é chamado de termo principal, e seu coeficiente cn coeficiente principal; se o coeficiente principal é 1, o polinômio univariado é chamado de monico.
ExemplosEditar
- Polinómios quadráticos complexos
PropriedadesEditar
Multiplicativamente fechadoEditar
O conjunto de todos os polinómios múnicos (sobre um dado anel (unitário) A e para uma dada variável x) é fechado em multiplicação, uma vez que o produto dos termos iniciais de dois polinómios múnicos é o termo inicial do seu produto. Assim, os polinómios monômicos formam um semigrupo multiplicativo do anel polinomial A. Na verdade, como o polinômio constante 1 é monico, este semigrupo é mesmo um monóide.
Ordem parcialEditar
A restrição da relação de divisibilidade com o conjunto de todos os polinômios monômicos (sobre o anel dado) é uma ordem parcial, e assim faz com que este conjunto seja um poste. A razão é que se p(x) divide q(x) e q(x) divide p(x) para dois polinómios múnicos p e q, então p e q devem ser iguais. A propriedade correspondente não é verdadeira para os polinómios em geral, se o anel contém elementos invertíveis diferentes de 1,
Soluções de equação polinomialEditar
Noutros aspectos, as propriedades dos polinómios múnicos e das suas equações polinomiais mónicas correspondentes dependem crucialmente do anel de coeficiente A. Se A for um campo, então cada polinómio p não nulo tem exactamente um polinómio mónico associado q: p dividido pelo seu coeficiente principal. Desta forma, então, qualquer equação polinomial não trivial p(x) = 0 pode ser substituída por uma equação monica equivalente q(x) = 0. Por exemplo, a equação geral real do segundo grau
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}
(onde a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}
)
pode ser substituído por
x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle \ x^{2}+px+q=0}
,
substituindo p = b/a e q = c/a. Assim, a equação
2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle 2x^{2}+3x+1=0}
é equivalente à equação monica
x 2 + 3 2 x + 1 2 = 0. {\displaystyle x^{2}+{\frac {3}{2}}x+{\frac {1}{2}}=0.}
A fórmula geral da solução quadrática é então a forma ligeiramente mais simplificada de:
x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) . Estilo x={\i1}{2}{2}}esquerda(-p}pm {\i}{p^{2}-4q}}}.}
IntegralityEdit
Por outro lado, se o anel de coeficiente não é um campo, há mais diferenças essenciais. Por exemplo, uma equação polinomial monica com coeficientes inteiros não pode ter soluções racionais que não sejam números inteiros. Assim, a equação
2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\\\i1}2x^{\i}+3x+1=0}
possivelmente pode ter alguma raiz racional, que não é um inteiro, (e incidentalmente uma das suas raízes é -1/2); enquanto as equações
x 2 + 5 x + 6 = 0 ^{\\2}+5x+6=0}
e
x 2 + 7 x + 8 = 0 ^{2}+7x+8=0}
só podem ter soluções inteiras ou soluções irracionais.
As raízes dos polinómios múnicos com coeficientes inteiros são chamadas inteiros algébricos.
As soluções para equações polinomiais múnicas sobre um domínio integral são importantes na teoria das extensões integrais e domínios integralmente fechados e, portanto, para a teoria dos números algébricos. Em geral, suponha que A é um domínio integral, e também um sub-ring do domínio integral B. Considere o subconjunto C de B, constituído pelos elementos B, que satisfazem equações polinomiais monicas sobre A:
C := { b ∈ B : ∃ p ( x ) ∈ A , que é monica e tal que p ( b ) = 0 } . …no estilo C:=b:=b:=b:=em B:=existe,p(x)=em A,,hbox = que é monica e tal quep(b)=0,…
O conjunto C contém A, já que qualquer um ∈ A satisfaz a equação x – a = 0. Além disso, é possível provar que C é fechado sob adição e multiplicação. Assim, C é um sub-ring de B. O anel C é chamado de A em B; ou apenas o fechamento integral de A, se B for o campo de fração de A; e os elementos de C são ditos serem integrais sobre A. Se aqui A = Z {\displaystyle A=\mathbb {Z} }
(o anel dos números inteiros) e B = C {\i1}displaystyle B=\i>mathbb {C} }
(o campo dos números complexos), então C é o anel dos inteiros algébricos.
IrreduciblityEdit
Se p é um número primo, o número de polinómios múnicos irreduzíveis de grau n sobre um campo finito G F ( p ) {\i1}displaystyle \i}mathrm {GF (p)}
com elementos p é igual à função de contagem de colar N p ( n ) {\\i1}{\i1}(n)}
.
Se se remove a restrição de ser monico, este número torna-se ( p – 1 ) N p ( n ) {\i1}displaystyle (p-1)N_{p}(n)}
