Paul Cohen (1934-2007)
Paul Cohen foi uma das novas gerações de matemáticos americanos inspirados pelo influxo de exilados europeus durante os anos da Guerra. Ele próprio era um imigrante judeu de segunda geração, mas era assustadoramente inteligente e extremamente ambicioso. Por pura inteligência e força de vontade, ele foi ganhando fama, riqueza e os melhores prêmios matemáticos.
Ele foi educado em Nova York, Brooklyn e na Universidade de Chicago, antes de trabalhar para uma cátedra na Universidade de Stanford. Ele ganhou a prestigiosa Medalha Fields em matemática, assim como a Medalha Nacional da Ciência e o Prêmio Bôcher Memorial em análise matemática. Seus interesses matemáticos eram muito amplos, desde a análise matemática e equações diferenciais até a lógica matemática e teoria dos números.
No início dos anos 60, ele se aplicou seriamente à primeira das 23 listas de problemas abertos de Hilbert, a hipótese continuada de Cantor, se existe ou não um conjunto de números maior que o conjunto de todos os números naturais (ou inteiros), mas menor que o conjunto de números reais (ou decimais). Cantor estava convencido de que a resposta era “não”, mas não foi capaz de prová-lo satisfatoriamente, e também ninguém mais se aplicou ao problema desde.
Uma de várias formulações alternativas dos Axiomas Zermelo-Fraenkel e Axioma de Escolha
Algum progresso tinha sido feito desde Cantor. Entre aproximadamente 1908 e 1922, Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel desenvolveram a forma padrão da teoria dos conjuntos axiomáticos, que se tornaria a base mais comum da matemática, conhecida como a teoria dos conjuntos Zermelo-Fraenkel (ZF, ou, como modificado pelo Axioma de Escolha, como ZFC).
Kurt Gödel demonstrou em 1940 que a hipótese do conjunto contínuo é consistente com ZF, e que a hipótese do conjunto contínuo não pode ser refutada da teoria padrão dos conjuntos Zermelo-Fraenkel, mesmo que o axioma de escolha seja adotado. A tarefa de Cohen, então, era mostrar que a hipótese do continuum era independente de ZFC (ou não), e especificamente provar a independência do axioma de escolha.
Forçando Técnica
Cohen, chegou a usar uma nova técnica que ele mesmo desenvolveu chamada “forçando”, foi que ambas as respostas poderiam ser verdadeiras, ou seja, que a hipótese do continuum e o axioma de escolha eram completamente independentes da teoria do conjunto ZF. Assim, poderia haver duas matemáticas diferentes, internamente consistentes: uma onde a hipótese do continuum era verdadeira (e não havia tal conjunto de números), e outra onde a hipótese era falsa (e um conjunto de números existia). A prova parecia estar correta, mas os métodos de Cohen, particularmente sua nova técnica de “forçar”, eram tão novos que ninguém estava realmente certo até que Gödel finalmente deu seu selo de aprovação em 1963.
Suas descobertas foram tão revolucionárias quanto as de Gödel. Desde aquela época, os matemáticos construíram dois mundos matemáticos diferentes, um em que a hipótese do continuum se aplica e outro em que não se aplica, e as provas matemáticas modernas devem inserir uma declaração declarando se o resultado depende ou não da hipótese do continuum.
As provas de mudança de paradigma de Gödel lhe trouxeram fama, riquezas e prêmios matemáticos em abundância, e ele se tornou um dos melhores professores de Stanford e Princeton. Destruído pelo sucesso, ele decidiu enfrentar o Santo Graal da matemática moderna, o oitavo problema de Hilbert, a hipótese de Riemann. No entanto, ele acabou passando os últimos 40 anos de sua vida, até sua morte em 2007, sobre o problema, ainda sem solução (embora sua abordagem tenha dado nova esperança aos outros, incluindo seu brilhante aluno, Peter Sarnak).
| << De volta a Weil | Em frente a Robinson e Matiyasevich >> |