Idea

Dr. von Neumann, ich möchte gerne wissen, was ist denn eigentlich ein Hilbertscher Raum ? 1

Um espaço Hilbert é uma (possivelmente) generalização infinitamente dimensional dos espaços tradicionais da geometria euclidiana em que as noções de distância e ângulo ainda fazem bom sentido. Isto é feito através de uma operação algébrica, o produto interior, que generaliza o produto ponto.

Os espaços Hilbert tornaram-se famosos para o mundo em geral através das suas aplicações à física, onde eles organizam os estados puros dos sistemas quânticos.

Espaços Hilbert formam uma categoria, Hilb.

Veja também

• um tratamento elementar dos espaços Hilbert.

Definições

Deixe VV ser um espaço vetorial sobre o campo dos números complexos. (Pode-se generalizar um pouco a escolha do campo.) Um produto interno (no sentido mais geral, possivelmente indefinido) sobre VV é uma função

isto é (1â3) sesquilinear e (4) conjugado-simétrico; isto é: z {\an8}rangle e â¨x,y+zâ©=â¨x,yâ©+â¨x,zâ©langle x, y + z {\an8}langle = {\an8}langle x, y {\an8 {\an8 {\an8 {\an8 {\an8 {\an8 {\an8}}-rangle + {\an8 {\an8}-rangle ;

Aqui usamos a convenção do físico de que o produto interno é conjugado linear na primeira variável e não na segunda, em vez da convenção do matemático, que é o inverso. A convenção do físico se encaixa um pouco melhor nos espaços 22-Hilbert. Note que usamos o mesmo campo como valores do produto interno como para escalares; a conjugação complexa será irrelevante para algumas escolhas de campo.

A lista de axiomas acima é bastante redundante. Em primeiro lugar, (1) segue-se de (3) definindo c=0c = 0; além disso, (1â3) vem em pares, dos quais apenas um é necessário, já que cada metade segue da outra usando (4). É mesmo possível derivar (3) de (2) supondo que VV é um espaço vetorial topológico e que o produto interno é contínuo (o que, como veremos, é sempre verdade de qualquer forma para um espaço Hilbert).

O próximo conceito a definir é a (semi)definição. Nós definimos uma função âââââ 2:Vââââ}|{-}^2: V \a \a \b{C} por âxâ 2=â¨x,xâ©©©|x\|^2 = \ângulo x, x \rangle; de facto, ââââ 2\|{-}^2 toma apenas valores reais, por (4). * O produto interior é positivo semidefinido, ou simplesmente positivo, se âââ 2â¥0â^2 ^2 ^2 ^0 sempre. * Observe que (por 1), âxâ 2=0=x=^2 = 0 se x=0x= 0; o produto interno é definitivo se o inverso se mantém. * Um produto interno é positivo e definitivo se for positivo e definitivo. * Como um aparte, há também produtos internos negativos (semi)definitivos, que são ligeiramente menos convenientes, mas não são realmente diferentes. Um produto interno é indefinido se alguns âxâ 2\|x\|^2 são positivos e alguns são negativos; estes têm um sabor muito diferente.

O produto interno é completo se, dada qualquer sequência infinita (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) tal que

existe uma soma SS (necessariamente única) tal que

Se o produto interno é definitivo, então esta soma, se existir, deve ser única, e escrevemos

(com o lado direito indefinido se não existir tal soma).

Então um espaço Hilbert é simplesmente um espaço vectorial equipado com um produto interno positivo definitivo completo.

Espaços Hilbert como espaços Banach

Se um produto interior é positivo, então podemos tomar a raiz quadrada principal de âxâ 2=â¨x,xâ©©\|x\|^2 = \langle x, x \rangle to get the real number âxâ\|x\|, a norma de xx.

Esta norma satisfaz todos os requisitos de um espaço Banach. Além disso, satisfaz a lei do paralelogramo

que nem todos os espaços Banach precisam satisfazer. (O nome desta lei vem da sua interpretação geométrica: as normas do lado esquerdo são os comprimentos das diagonais de um paralelogramo, enquanto que as normas do lado direito são os comprimentos dos lados.)

Outras vezes, qualquer espaço Banach saturando a lei do paralelogramo tem um produto interno único que reproduz a norma, definida por

ou 12(âx+yâ 2âxâyâ 2){1}frac{2}({x + y\i}^2 – {x – ^2 – y^2) no caso real.

Por isso, é possível definir um espaço Hilbert como um espaço Banach que satisfaz a lei do paralelogramo. Isto funciona um pouco mais geralmente; um espaço interior de produto positivo semidefinido é um espaço vectorial pseudonormado que satisfaz a lei do paralelogramo. (Não podemos, entretanto, recuperar um produto interno indefinido de uma norma.)

Espaços Hilbert como espaços métricos

Em qualquer espaço semidefinido positivo de produto interno, deixe a distância d(x,y)d(x,y) ser

Então dd é um pseudométrico; é uma métrica completa se e só se tivermos um espaço Hilbert.

De facto, os axiomas de um espaço Banach (ou espaço vectorial pseudonormado) podem ser escritos inteiramente em termos da métrica; também podemos afirmar a lei do paralelogramo da seguinte forma:

Em definições, é provavelmente mais comum ver a métrica introduzida apenas para declarar o requisito de completude. De fato, (1) diz que a seqüência de somas parciais é uma seqüência de Cauchy, enquanto (2) diz que a seqüência de somas parciais converge para SS.

Espaços Hilbert como espaços conformados

Dados dois vetores xx e yy, ambos não zero, que o ângulo entre eles seja o ângulo θ(x,y)\theta(x,y) cujo co-seno é

(Note que este ângulo pode ser imaginário em geral, mas não para um espaço Hilbert sobre â\mathbb{R}.)

Um espaço Hilbert não pode ser reconstruído inteiramente a partir dos seus ângulos, no entanto (mesmo dado o espaço vectorial subjacente). O produto interno só pode ser recuperado até um fator de escala positivo.

Morfismos dos espaços de Hilbert

Veja a discussão no espaço Banach. Há mais a ser dito aqui em relação aos duals (incluindo porque a teoria dos espaços Hilbert é ligeiramente mais agradável sobre â\mathbb{C} enquanto a dos espaços Banach é ligeiramente mais agradável sobre â\mathbb{R}).

Exemplos

Espaços Banach

Todos os exemplos de pp-parametrizados no espaço Banach se aplicam se você tomar p=2p = 2.

Em particular, o espaço vectorial nn-dimensional â n\mathbb{C}^n é um espaço Hilbert complexo com

Any subcampo KK de â\mathbb{C} dá um espaço interior de produto K nK^n positivo e definido cuja conclusão é â\mathbb{R}^n ou â\mathbb{C}^n. Em particular, o espaço cartesiano â n\mathbb{R}^n é um verdadeiro espaço Hilbert; as noções geométricas de distância e ângulo definidas acima concordam com a geometria euclidiana comum para este exemplo.

De funções integráveis ao quadrado Lebesgue sobre um manifold

Os espaços L- Hilbert L 2(â)L^2(\mathbb{R}), L 2()L^2(), L 2(â 3)L^2(\mathbb{R}^3), etc (reais ou complexos) são muito bem conhecidos. Em geral, L 2(X)L^2(X) para XX um espaço de medida consiste na quase totalidade das funções definidas ff de XX para o campo escalar (â\mathbb{R} ou â\mathbb{C}) de tal forma que â”|f| 2 \int |f|^2 converge para um número finito, com funções identificadas se forem iguais em quase todo o lado; temos â¨f,gâ©=â “f¯g}langle f, g{\an8}g, g{\an8}g, que converge pela desigualdade do CauchyâSchwarz. Nos casos específicos listados (e em geral, quando XX é um espaço Hausdorff compacto localmente), também podemos obter este espaço completando o espaço interno de produto positivo definido de funções contínuas compactamente suportadas.

De meias densidades quadradas integráveis

• espaço de Hilbert canônico de meias densidades

Propriedades

Bases

Um resultado básico é que, abstratamente, os espaços de Hilbert são todos do mesmo tipo: cada espaço Hilbert HH admite uma base orthonormal, ou seja, um subconjunto SâHS \subseteq H cujo mapa de inclusão se estende (necessariamente de forma única) a um isomorfismo

de espaços Hilbert. Aqui l 2(S)l^2(S) é o espaço vectorial constituído por aquelas funções xx do SS para o campo escalar de tal forma que

converge para um número finito; isto também pode ser obtido completando o espaço vectorial de combinações lineares formais de elementos de SS com um produto interior exclusivamente determinado pela regra

no qual Î’ uv\delta_{u v} denota Kronecker delta. Temos assim, em l 2(S)l^2(S),

(Esta soma converge pela desigualdade de CauchyâSchwarz.)

Em geral, este resultado utiliza o axioma de escolha (geralmente na forma de lema de Zorn e meio excluído) na sua prova, e é equivalente a ele. No entanto, o resultado para os espaços separáveis de Hilbert necessita apenas de escolha dependente e, portanto, é construtivo pelos padrões da maioria das escolas. Mesmo sem escolha dependente, bases orthornormais explícitas para determinados L 2(X)L^2(X) podem frequentemente ser produzidas usando técnicas de aproximação da identidade, muitas vezes em conjunto com um processo Gram-Schmidt.

Em particular, todos os espaços Hilbert separáveis infinitamente dimensionais são abstratamente isomórficos a l 2(â)l^2(\mathbb{N}).

Desigualdade de Schwarz

A desigualdade de Schwarz (ou desigualdade de CauchyâÐÑнÑковÑкийâSchwarz, etc.) é muito útil: