Idea

Uma teoria de gauge pode denotar uma teoria clássica de campo ou uma teoria de campo quântico cujas configurações de campo são cóciclos em coomologia diferencial (abeliana ou não).

Teorias ordinárias de gauge

Uma teoria de gauge comum é uma teoria de campo quântico cujas configurações de campo são feixes vetoriais com conexão.

Incluindo notavelmente os campos que carregam as três forças fundamentais do modelo padrão da física de partículas:

  • Omagnetismo ordinário na ausência de cargas magnéticas é uma teoria de bitola de U(1)U(1)-feixes principais com conexão.

  • Campos na teoria de Yang-Mills (como aparecem no modelo padrão da física de partículas e nos GUTs) são feixes vetoriais com conexão.

Outros exemplos incluem modelos físicos formais.

  • Teoria Dijkgraaf-Witten é uma teoria de bitola, cujas configurações de campo são os grupos GG-principal para GG um grupo finito (estes vêm com uma conexão única, de modo que neste caso simples a conexão não é um dado extra).

O grupo GG nestes exemplos é chamado de grupo bitola da teoria.

Teorias de calibre mais elevado e generalizado

Os exemplos de campos de calibre acima consistiram de cociclos em coomologia diferencial de grau 11.

Mais geralmente, uma teoria de calibre superior é uma teoria de campo quântico cujas configurações de campo são cociclos em coomologia diferencial mais geral, por exemplo cociclos de grau mais elevado Deligne ou mais geralmente cociclos em outros refinamentos diferenciais, tais como na teoria diferencial K.

Esta generalização contém física experimentalmente visível como

  • A corrente magnética no eletromagnetismo é um gerbo de feixe com conexão, um cociclo Deligne refinando um cociclo em grau -33 Eilenberg-MacLane coomologia: a carga magnética .

Mas uma torre inteira de teorias de calibre superior e generalizado tornou-se visível com o estudo de teorias de supergravidade superior,

  • O campo Kalb-Ramond é um gerbo de feixe com conexão, um cociclo Deligne com curvatura de 3 formas.

  • O campo C de supergravidade é um cociclo Deligne com curvatura 4-form.

  • O campo RR é um cociclo em teoria diferencial K.

Gravidade como uma teoria (não)bitola

Na primeira ordem de formulação da gravidade também a teoria da gravidade se parece um pouco com uma teoria bitola. No entanto, há uma diferença crucial. O que realmente acontece aqui é a geometria Cartan: o campo de gravidade pode ser codificado em um campo vielbein, nominativamente uma estrutura ortogonal no feixe tangente, portanto como um exemplo de uma estrutura G, e a liberdade de torção desta estrutura G pode ser codificada por uma conexão auxiliar, ou seja, uma conexão Cartan, muitas vezes chamada de “conexão giratória” neste contexto. Assim, enquanto na formulação da geometria Cartan a gravidade é descrita por muitos dos ingredientes da geometria diferencial que também governam a pura teoria do calibre, ela não é exatamente a mesma. Em particular há uma restrição numa ligação Cartan, que em termos de campos de vielbein é a restrição de que o vielbein (que é parte da ligação Cartan) não é degenerado e, portanto, é realmente uma “forma de soldadura”. Tal restrição está ausente em uma teoria de bitola “genérica”, como a teoria de Yang-Mills ou a teoria de Chern-Simons.

Propriedades

Não-redundância e localidade

Algumas vezes se vê a visão expressa de que a simetria de bitola é “apenas uma redundância” na descrição de uma teoria da física, por exemplo, na medida em que entre os observáveis são apenas os bitolas invariantes que são fisicamente significativos.

Esta afirmação entretanto

Anomalias

Na presença de carga magnética (e então mesmo na ausência de anomalias de fermion quiral?) o padrão de ação funcional para teorias de bitola superior pode ser mal definido. O mecanismo de Green-Schwarz é um famoso fenômeno em coomologia diferencial pelo qual tal anomalia quântica cancela contra a dada pelos férmions quirais.

Lista de campos de bitola e seus modelos

A seguir tentamos dar uma visão geral de alguma coleção de campos de bitola em física, seus modelos por coomologia diferencial e outros detalhes.

  • Campo Yang-Mills

    • ciclo em coomologia diferencial de menor grau não-elegíveis

      • originalmente realizado em termos de coomologia diferencial ?ech cocycles

        F^âH(X,B¯G) {H}(X, \bar \mathbf{H}(G)

        com coeficientes nas formas valorizadas da álgebra de mentira,

        então tradicionalmente em termos de feixes vectoriais com ligação

    • força de campo dependendo do grupo GG que temos

      • G=U(1)G = U(1) – electromagnetismo (ver abaixo)

      • G=SU(2)ÃU(1)G = SU(2)\ \ vezes U(1) – força do campo de força electroweak

      • G=SU(3)G = SU(3)ÃU(3)- forte campo de força nuclear

    • transporte paralelo: Linhas Wilson

  • campo eletromagnético

    • ciclo em coomologia diferencial ordinária grau 22

      • ciclo em coomologia diferencial ordinária grau 22
        • ciclo em coomologia diferencial ordinária em termos de apresentação do Maxwell-Dirac como um cociclo em ?echâDeligne cocycle
          F^âH(X,B¯U(1)) \O que F em “F” em “H” (X, “Bar” em “B”) U(1))

      • força de campo: o campo eléctrico EE e o campo magnético BB, localmente num ponto xâXx \ em X

        F=Eâ§dt+â 3B F = E \wedge d t + \star_3 B

      • em X=â 3\{0}X = \mathbb{R}^3\backslash {0} classe subjacente em coomologia integral cl(F^)âH(X,BU(1))âH 2(X,â¤)cl(\ que F) {B} {B} U(1)) \simeq H^2(X,\mathbb{Z}) é a carga magnética

      • transporteparalelo: interacção bitola peça de acção funcional da carga eléctrica quântica 1-partícula

    • Kalb-Ramond field

      • ciclos em graus-33 de coomologia diferencial normal

        • ciclos realizadosnaturalmente/históricamente em termos de

          • ciclos em ?echâDeligne cocycle

            H^âH(X,B¯ 2U(1)){H}(X,\bar \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}^2 U(1))

          • um gerbo de feixe com conexão

      • força de campo: HâΩ 3(X)H \em \Omega^3(X) o campo âHHHâ â?” em uma pista D, esta é a corrente magnética para o campo Yang-Mills na marca

      • transporte paralela: peça de ação de interação de calibre funcional da partícula quântica de 2 cargas elétricas (a corda).

    • campo C de supergravidade

      • ciclo em graus-44 de coomologia diferencial ordinária

        • ciclo de cúbico-histórico realizado em termos de cociclo em ?echâDeligne cocycle

          H^âH(X,B¯ 3U(1)) \O que o H em H (H)(X,|bar |mathbf{B}^3 U(1))

          utilizando a formulação D’Auria-Fre de supergravidade também pode ser pensado como um cociclo diferencial não rotulado dado por uma ligação Cartan-Ehresmann â-conexão

      • força de campo: HâΩ 4(X)H {\i}em {\i}Omega^4(X) o âGG-campoâ â “em supergravidade heterótica, esta é a corrente magnética de 5-branas para o campo Kalb-Ramond torcido

      • transporte paralela: peça de acção de interacção de calibre funcional da partícula quântica de 3 cargas eléctricas (a membrana).

    • campoRR

      • ciclo em teoria K diferencial

        • em presença de campo Kalb-Ramond não trivial: cociclo em teoria K diferencial torcido

      • força de campo: Formulários RR

    • feixes de fibras em física

    • aguge

    • grupo de calibre

    • transformação de calibre, transformação de maior calibre

    • BRST complexo, formalismo BV-BRST

    • campo fantasma, campo fantasma de fantasma

    • fixação de calibre, fermião de fixação, invariante de calibre

    • teoria de calibre de pedra

    • ambiguidade de Gribov

    • teoria de calibre de fígado

    campo de calibre: modelos e componentes

    física geometria diferencial coomologia diferencial
    campo de calibre ligação num feixe cociclo em coomologia diferencial
    sector instantâneo/carga feixe primitivo cociclo em coomologia subjacente
    potencial de calibre forma diferencial de conexão local diferencial de conexão local forma
    força do campo curvatura ciclo subjacente em coomologia de Rham
    transformação de calibre equivalência condicionamento
    aplicação mínima Derivado decovariante Coomologia torcida
    Complexo BRST Mentira algébrica da pilha de modulos Mentira algébrica da pilha de modulos
    Lagrangiana estendida Chern-universalSimons n-bundle mapa das características universais

    • teoria do U(1)-grau superior

      • aplicação de carga de fundo eléctrica superior

        • >

    • selff-teoria da dupla bitola superior

    • teoria da bitola superior

    • anomalia quântica

      • Verde…Mecanismo de Schwarz

    • teoria dafinidade-Chern-Simons

    • teoria do campo livre

    Geral

    Contas gerais do livro-texto:

    • Guia de Mike, Teorias de Campo de Gauge: An Introduction with Applications, Wiley 2008 (ISBN:978-3-527-61736-4)

    • Mikio Nakahara, Secção 10.5 de: Geometria, Topologia e Física, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)

    Basics on fiber bundles in physics are recalled in

    • Adam Marsh, Gauge Theories and Fiber Bundles: Definições, Fotos, e Resultados (arXiv:1607.03089)

    Uma introdução aos conceitos na quantificação de teorias de bitola está em

    • Nicolai Reshitikhin, Lectures on quantization of gauge systems (pdf)

    Um manual padrão sobre o formalismo BV-BRST para a quantização de sistemas de bitola está em

    • Marc Henneaux, Claudio Teitelboim, Quantization of Gauge Systems Princeton University Press, 1992

    Notações de palestra compreensivas sobre isso estão em

    • geometria da física â perturbative quantum field theory.

      • >

    Discussão da teoria de maior medida abeliana em termos de coomologia diferencial está em

    • Dan Freed, quantificação de carga Dirac e coomologia diferencial generalizada

    • Alessandro Valentino, Coomologia diferencial e campos de medida quântica (pdf)

    • José Figueroa-O’Farrill, Teoria de medida (página web)

    • Tohru Eguchi, Peter Gilkey, Andrew Hanson, Gravitação, teorias de medida e geometria diferencial, Relatórios de Física 66:6 (1980) 213â393 (pdf)

    Para discussão no contexto da gravidade ver também

    • Edward Witten, Symmetry and Emergence (arXiv:1710.01791)

      • >

    Em AQFT

    Discussão padrão da teoria da medida no contexto da teoria do campo quântico algébrico (AQFT) inclui

    • Franco Strocchi, seção 4 de Mecânica Quântica Relativista e Teoria do Campo, Found.Phys. 34 (2004) 501-527 (arXiv:hep-th/0401143)

    Para AQFT em espaços curvos, os axiomas de AQFT precisam ser promovidos a um contexto de geometria mais elevada, a menos que a localidade seja quebrada, ver as exposições em

    • Feixes de campo mais altos para campos de bitola

    • Alexander Schenkel, Sobre o problema das teorias de bitola

      na covariante local QFT_, palestra no Operator and Geometric Analysis on Quantum Theory Trento, 2014 (web)

    Esta foi estabelecida em

    • Marco Benini, Claudio Dappiaggi, Alexander Schenkel, Quantized Abelian principais conexões em coletores Lorentzian, Communications in Mathematical Physics 2013 (arXiv:1303.2515)

    e o programa de melhoria dos axiomas de AQFT sobre tempos de espaço curvos para o contexto de empilhamento a fim de acomodar a teoria da bitola inclui os seguintes artigos:

    • Marco Benini, Alexander Schenkel, Richard Szabo, colimites de homotopia e observáveis globais na teoria da bitola abeliana (arXiv:1503.08839)

    • Marco Benini, Alexander Schenkel, Quantum field theories on categories fibered in groupoids (arXiv:1610.06071)

    • Marco Benini, Alexander Schenkel, Urs Schreiber, The stack of Yang-Mills fields on Lorentzian manifolds (arXiv:1704.01378)

    Dualidades

    Uma exposição da relação com a dualidade geométrica de Langlands está em

    • Edward Frenkel, Gauge theory and Langlands duality (pdf)

    História

    Uma discussão da transformação de âgaugeâ e gauge na metafísica está em

    • Georg Hegel, §714 de Science of Logic, 1812

    Hermann Weylâs argumento histórico motivador da teoria do calibre em física a partir do redimensionamento de unidades de comprimento foi dado em 1918 em

    • Hermann Weyl, Raum, Zeit, Materie: Vorlesungen über die Allgemeine Relativitätstheorie, Springer Berlin Heidelberg 1923

      O manuscrito de Weylâs primeiro livro sobre física matemática, Space â Time â Matter (STM) (Raum â Zeit â Materie), entregue à editora (Springer) Easter 1918, não continha Weylâs nova geometria e proposta para uma UFT. Ela foi preparada a partir das notas de palestra de um curso ministrado no semestre de Verão de 1917 no Instituto Politécnico (ETH) Zürich. Weyl incluiu suas descobertas recentes apenas na 3ª edição (1919) do livro. As versões inglesa e francesa (Weyl 1922b, Weyl 1922a), traduzidas da quarta edição revista (1921), continham uma breve exposição da métrica generalizada de Weylâs e a idéia de uma teoria de escala do eletromagnetismo. (Scholz)

    Veja

    • Erhard Scholz, H. Weylâs e E. Propostas de Cartanâs para geometria infinitesimal no início dos anos 1920 (pdf)

    Enquadramentos preliminares incluem

    • John Iliopoulos, Progress in Gauge Theories, 1975 (spire:3000)

      • >

    Revisões rápidas incluem

    • Quigley, Sobre as origens da teoria de bitola (pdf)

    • Afriat, Weylâs gauge argument (pdf)

    Contas históricas mais abrangentes incluem

    • Lochlainn O’Raifeartaigh, The Dawning of Gauge Theory, Princeton University Press (1997)

    • Lochlainn O’Raifeartaigh, Norbert Straumann, Gauge Theory: Origens Históricas e Alguns Desenvolvimentos Modernos Rev. Mod. Phys. 72, 1-23 (2000).

    • Norbert Straumann, Early History of Gauge Theories and Weak Interactions (arXiv:hep-ph/9609230)

    • Norbert Straumann, princípio de Gauge e QED, discurso no PHOTON2005, Varsóvia (2005) (arXiv:hep-ph/0509116)

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