Idea

Una teoria di gauge può indicare sia una teoria di campo classica che una teoria di campo quantistica le cui configurazioni di campo sono cocicli in cohomologia differenziale (abeliana o non abeliana).

Teorie di gauge ordinarie

Una teoria di gauge ordinaria è una teoria di campo quantistica le cui configurazioni di campo sono fasci vettoriali con connessione.

Questa include in particolare i campi che portano le tre forze fondamentali del modello standard della fisica delle particelle:

• L’elettromagnetismo ordinario in assenza di cariche magnetiche è una teoria di gauge di fasci U(1)U(1)-principali con connessione.

• I campi nella teoria di Yang-Mills (come quelli che appaiono nel modello standard della fisica delle particelle e nelle GUT) sono fasci vettoriali con connessione.

Altri esempi includono modelli fisici formali.

• La teoria di Dijkgraaf-Witten è una teoria di gauge le cui configurazioni di campo sono fasci GG-principali per GG un gruppo finito (questi vengono con una connessione unica, così che in questo caso semplice la connessione non è un dato extra).

Il gruppo GG in questi esempi è chiamato il gruppo di gauge della teoria.

Teorie di gauge superiori e generalizzate

Gli esempi precedenti di campi di gauge consistevano in cocicli nella coomologia differenziale di grado 11.

Più generalmente, una teoria di gauge superiore è una teoria quantistica di campo le cui configurazioni di campo sono cocicli in coomologie differenziali più generali, per esempio cocicli di Deligne di grado superiore o più generalmente cocicli in altre raffinatezze differenziali, come nella teoria K differenziale.

Questa generalizzazione contiene fisica sperimentalmente visibile come

• La corrente magnetica nell’elettromagnetismo è un gerbe bundle con connessione, un cociclo di Deligne che raffina un cociclo nella cohomologia di grado-33 Eilenberg-MacLane: la carica magnetica .

Ma tutta una torre di teorie di gauge superiori e generalizzate è diventata visibile con lo studio delle teorie di supergravità superiori,

• Il campo di Kalb-Ramond è un fascio gerbico con connessione, un cociclo di Deligne con curvatura 3forme.

• Il campo di supergravità C è un cociclo di Deligne con curvatura 4-form.

• Il campo RR è un cociclo nella teoria differenziale K.

La gravità come una (non-)teoria di gauge

Nella formulazione del primo ordine della gravità anche la teoria della gravità assomiglia un po’ a una teoria di gauge. Tuttavia, c’è una differenza cruciale. Ciò che realmente accade qui è la geometria di Cartan: il campo di gravità può essere codificato in un campo vielbein, cioè una struttura ortogonale sul fascio tangente, quindi come un esempio di una struttura G, e la libertà di torsione di questa struttura G può essere codificata da una connessione ausiliaria, cioè una connessione di Cartan, spesso chiamata in questo contesto la “connessione spinosa”. Quindi, mentre nella formulazione della geometria di Cartan la gravità è descritta da molti degli ingredienti della geometria differenziale che governano anche la pura teoria di gauge, non è proprio la stessa cosa. In particolare c’è un vincolo su una connessione di Cartan, che in termini di campi vielbein è il vincolo che la vielbein (che è parte della connessione di Cartan) è non-degenerata, e quindi davvero una “forma saldante”. Tale vincolo è assente in una teoria di gauge “genuina” come la teoria di Yang-Mills o la teoria di Chern-Simons.

Proprietà

Non ridondanza e località

A volte si vede l’opinione espressa che la simmetria di gauge è “solo una ridondanza” nella descrizione di una teoria della fisica, per esempio nel fatto che tra le osservabili sono solo quelle invarianti di gauge ad avere significato fisico.

Questa affermazione però

Anomalie

In presenza di carica magnetica (e quindi anche in assenza di anomalie di fermioni chirali?) il funzionale d’azione standard per le teorie di gauge superiori può essere mal definito. Il meccanismo di Green-Schwarz è un famoso fenomeno nella coomologia differenziale con il quale una tale anomalia quantistica si annulla contro quella data dai fermioni chirali.

Lista dei campi di gauge e dei loro modelli

Il seguente cerca di dare una panoramica di alcune collezioni di campi di gauge in fisica, i loro modelli per coomologia differenziale e ulteriori dettagli.

• Campo di Yang-Mills

  • ciclo in coomologia differenziale non abeliana di grado più basso

    >

    • originariamente realizzato in termini di cohomologia differenziale?ech cocycles

      F^âH(X,B¯G) \hat F \in \mathbf{H}(X, \bar \mathbf{B} G)

      con coefficienti nel gruppo delle forme valutate delle algebre di Lie,

      allora tradizionalmente in termini di fasci vettoriali con connessione

    >

  • forza del campo dipendente dal gruppo GG abbiamo

    • G=U(1)G = U(1) – elettromagnetismo (vedi sotto)

    • G=SU(2)ÃU(1)G = SU(2)\tempi U(1) – forza del campo di forza elettrodebole

    • G=SU(3)G = SU(3) – campo di forza nucleare forte

  • trasporto parallelo: Linee di Wilson

• campo elettromagnetico

  • ciclo in cohomologia differenziale ordinaria di grado 22

    • naturalmente/storicamente realizzato in termini di presentazione Maxwell-Dirac come un cociclo in cociclo di ?echâDeligne
      F^âH(X,B¯U(1)) \che F in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B} U(1))

  • dell’intensità del campo: il campo elettrico EE e il campo magnetico BB, localmente in un punto xâXx \in X

    F=Eâ§dt+â 3B F = E \wedge d t + \star_3 B

  • su X=â 3\{0}X = \mathbb{R}^3\backslash \0\}: classe sottostante nella cohomologia integrale cl(F^)âH(X,BU(1))âH 2(X,â¤)cl(\hat F) \in H(X,\mathbf{B} U(1)) \simeq H^2(X,\mathbb{Z}) è la carica magnetica

  • trasporto parallelo: interazione di gauge pezzo di funzionale d’azione della particella quantistica elettricamente carica 1

• campo di Kalb-Ramond

  • ciclo in cohomologia differenziale ordinaria di grado-33

    • naturalmente/storicamente realizzato in termini di

      • un cociclo in ?echâDeligne cociclo

        H^âH(X,B¯ 2U(1))\hat H \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}^2 U(1))

      • un gerbo del fascio con connessione

  • forza del campo: HâΩ 3(X)H \in \Omega^3(X) il âHH-fieldâ su una D-brane questa è la corrente magnetica per il campo di Yang-Mills sulla brana

  • trasporto parallelo: interazione di gauge pezzo di azione funzionale della 2-particella elettricamente carica (la stringa).

• campo C di supergravità

  • ciclo in coomologia differenziale ordinaria di grado 44

    • naturalmente/storicamente realizzato in termini di come un cociclo in ?echâDeligne cociclo

      H^âH(X,B¯ 3U(1)) \che H \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}^3 U(1))

      utilizzando la formulazione D’Auria-Fre della supergravità può anche essere pensato come un cociclo differenziale non abeliano dato da una â-connessione di Cartan-Ehresmann

  • forza del campo: HâΩ 4(X)H \in \Omega^4(X) il âGG-campoâ in supergravità eterotica questa è la corrente magnetica a 5 bande per il campo contorto di Kalb-Ramond

  • trasporto parallelo: interazione di gauge pezzo di azione funzionale della particella quantistica elettricamente carica (la membrana).

• campo RR

  • ciclo in teoria differenziale K

    • in presenza di campo Kalb-Ramond non banale: cociclo in teoria differenziale K ritorta

  • forza del campo: RR-forms

• fasci di fibre in fisica

• di gauge

• gruppo di gauge

• trasformazione di gauge, trasformazione di gauge superiore

• complessoBRST, formalismo BV-BRST

• campo fantasma, campo ghost-of-ghost

• fissazione di gauge, fermione di gauge fixing, invariante di gauge

• teoria di gauge su lattice

• ambiguità di Gribov

• teoria di gaugequiver

• teoria di gauge U(1)- superiore

  • accoppiamento di carica elettrica di fondo superiore

• auto-teoria di gauge superiore duale

• teoria di gauge a spin superiore

• anomalia quantistica

  • Meccanismo Green-Schwarz

• teoria dell’infinito-Chern-Simons

• teoria dei campi liberi

Generale

Racconti generali da manuale:

• Mike Guidry, Gauge Field Theories: An Introduction with Applications, Wiley 2008 (ISBN:978-3-527-61736-4)

• Mikio Nakahara, Sezione 10.5 di: Geometry, Topology and Physics, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)

Le basi dei fasci di fibre in fisica sono richiamate in

• Adam Marsh, Gauge Theories and Fiber Bundles: Definitions, Pictures, and Results (arXiv:1607.03089)

Un’introduzione ai concetti nella quantizzazione delle teorie di gauge è in

• Nicolai Reshitikhin, Lectures on quantization of gauge systems (pdf)

Un testo standard sul formalismo BV-BRST per la quantizzazione dei sistemi di gauge è in

• Marc Henneaux, Claudio Teitelboim, Quantization of Gauge Systems Princeton University Press, 1992

Appunti di lezione completi su questo sono in

• geometria della fisica â teoria quantistica di campo perturbativa.

Discussione della teoria abeliana di gauge superiore in termini di cohomologia differenziale è in

• Dan Freed, quantizzazione della carica di Dirac e cohomologia differenziale generalizzata

• Alessandro Valentino, Coomologia differenziale e campi di gauge quantistici (pdf)

• José Figueroa-O’Farrill, Gauge theory (web page)

• Tohru Eguchi, Peter Gilkey, Andrew Hanson, Gravitation, gauge theories and differential geometry, Physics Reports 66:6 (1980) 213â393 (pdf)

Per la discussione nel contesto della gravità vedi anche

• Edward Witten, Symmetry and Emergence (arXiv:1710.01791)

In AQFT

La discussione standard della teoria di gauge nel contesto della teoria quantistica algebrica dei campi (AQFT) include

• Franco Strocchi, sezione 4 di Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory, Found.Phys. 34 (2004) 501-527 (arXiv:hep-th/0401143)

Per l’AQFT su spazi curvi gli assiomi dell’AQFT devono essere promossi ad un contesto di geometria superiore, a meno che non venga rotta la località, vedere le esposizioni a

• Fasci di campo superiori per campi di gauge

• Alexander Schenkel, On the problem of gauge theories

  in locally covariant QFT_, talk at Operator and Geometric Analysis on Quantum Theory Trento, 2014 (web)

Questo è stato stabilito in

• Marco Benini, Claudio Dappiaggi, Alexander Schenkel, Quantized Abelian principal connections on Lorentzian manifolds, Communications in Mathematical Physics 2013 (arXiv:1303.2515)

e il programma di miglioramento degli assiomi dell’AQFT su spacetimes curvi al contesto stacky per accomodare la teoria di gauge include i seguenti articoli:

• Marco Benini, Alexander Schenkel, Richard Szabo, Homotopy colimits and global observables in Abelian gauge theory (arXiv:1503.08839)

• Marco Benini, Alexander Schenkel, Quantum field theories on categories fibered in groupoids (arXiv:1610.06071)

• Marco Benini, Alexander Schenkel, Urs Schreiber, The stack of Yang-Mills fields on Lorentzian manifolds (arXiv:1704.01378)

Dualità

Un’esposizione della relazione con la dualità geometrica di Langlands è in

• Edward Frenkel, Gauge theory and Langlands duality (pdf)

History

Una discussione su âgaugeâ e trasformazione di gauge in metafisica è in

• Georg Hegel, §714 della Scienza della logica, 1812

L’argomento storico di Hermann Weylâ che motiva la teoria di gaugeâ in fisica a partire dal ridimensionamento delle unità di lunghezza è stato dato nel 1918 in

• Hermann Weyl, Raum, Zeit, Materie: Vorlesungen über die Allgemeine Relativitätstheorie, Springer Berlin Heidelberg 1923

  Il manoscritto del primo libro di Weyl sulla fisica matematica, Space â Time â Matter (STM) (Raum â Zeit â Materie), consegnato alla casa editrice (Springer) nella Pasqua del 1918, non conteneva la nuova geometria di Weyl e la proposta di un UFT. Era stato preparato dagli appunti di un corso tenuto nel semestre estivo del 1917 all’Istituto Politecnico (ETH) di Zurigo. Weyl incluse le sue recenti scoperte solo nella terza edizione (1919) del libro. Le versioni inglese e francese (Weyl 1922b, Weyl 1922a), tradotte dalla quarta edizione riveduta (1921), contengono una breve esposizione della metrica generalizzata di Weyl e l’idea di una teoria di gauge a scala dell’elettromagnetismo. (Scholz)

Vedi

• Erhard Scholz, H. Weylâs e E. Le proposte di Cartan per la geometria infinitesimale nei primi anni 1920 (pdf)

Le prime indagini includono

• John Iliopoulos, Progress in Gauge Theories, 1975 (spire:3000)

Previsioni veloci includono

• Quigley, On the origins of gauge theory (pdf)

• Afriat, Weylâs gauge argument (pdf)

Racconti storici più completi includono

• Lochlainn O’Raifeartaigh, The Dawning of Gauge Theory, Princeton University Press (1997)

• Lochlainn O’Raifeartaigh, Norbert Straumann, Gauge Theory: Historical Origins and Some Modern Developments Rev. Mod. Phys. 72, 1-23 (2000).

• Norbert Straumann, Early History of Gauge Theories and Weak Interactions (arXiv:hep-ph/9609230)

• Norbert Straumann, Gauge principle and QED, talk at PHOTON2005, Warsaw (2005) (arXiv:hep-ph/0509116)