Spazio metrico, in matematica, specialmente in topologia, un insieme astratto con una funzione di distanza, chiamata metrica, che specifica una distanza non negativa tra due qualsiasi dei suoi punti in modo tale che le seguenti proprietà siano rispettate: (1) la distanza dal primo punto al secondo è uguale a zero se e solo se i punti sono uguali, (2) la distanza dal primo punto al secondo è uguale alla distanza dal secondo al primo, e (3) la somma della distanza dal primo punto al secondo e la distanza dal secondo punto a un terzo supera o è uguale alla distanza dal primo al terzo. L’ultima di queste proprietà è chiamata disuguaglianza del triangolo. Il matematico francese Maurice Fréchet iniziò lo studio degli spazi metrici nel 1905.
La solita funzione di distanza sulla linea dei numeri reali è una metrica, come la solita funzione di distanza nello spazio euclideo n-dimensionale. Ci sono anche esempi più esotici di interesse per i matematici. Dato un qualsiasi insieme di punti, la metrica discreta specifica che la distanza da un punto a se stesso è uguale a 0 mentre la distanza tra due punti distinti è uguale a 1. La cosiddetta metrica del taxi sul piano euclideo dichiara che la distanza da un punto (x, y) a un punto (z, w) è |x – z| + |y – w|. Questa “distanza taxi” dà la lunghezza minima di un percorso da (x, y) a (z, w) costruito da segmenti di linea orizzontali e verticali. In analisi ci sono diverse metriche utili su insiemi di funzioni continue o integrabili con valore reale delimitato.
Quindi, una metrica generalizza la nozione di distanza usuale a impostazioni più generali. Inoltre, una metrica su un insieme X determina una collezione di insiemi aperti, o topologia, su X quando un sottoinsieme U di X è dichiarato aperto se e solo se per ogni punto p di X esiste una distanza positiva (possibilmente molto piccola) r tale che l’insieme di tutti i punti di X di distanza inferiore a r da p è completamente contenuto in U. In questo modo gli spazi metrici forniscono importanti esempi di spazi topologici.
Uno spazio metrico si dice completo se ogni sequenza di punti in cui i termini sono alla fine arbitrariamente vicini tra loro (una cosiddetta sequenza di Cauchy) converge a un punto nello spazio metrico. La metrica usuale sui numeri razionali non è completa poiché alcune sequenze di Cauchy di numeri razionali non convergono a numeri razionali. Per esempio, la sequenza di numeri razionali 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, … converge a π, che non è un numero razionale. Tuttavia, la metrica usuale sui numeri reali è completa e, inoltre, ogni numero reale è il limite di una sequenza di Cauchy di numeri razionali. In questo senso, i numeri reali formano il completamento dei numeri razionali. La prova di questo fatto, data nel 1914 dal matematico tedesco Felix Hausdorff, può essere generalizzata per dimostrare che ogni spazio metrico ha un tale completamento.
.