Se un polinomio ha un solo indeterminato (polinomio univariato), allora i termini sono solitamente scritti o dal grado più alto al grado più basso (“potenze discendenti”) o dal grado più basso al grado più alto (“potenze ascendenti”). Un polinomio univariato in x di grado n prende allora la forma generale mostrata sopra, dove

cn ≠ 0, cn-1, …, c2, c1 e c0

sono costanti, i coefficienti del polinomio.

Qui il termine cnxn è detto termine guida, e il suo coefficiente cn il coefficiente guida; se il coefficiente guida è 1, il polinomio univariato è detto monico.

EsempiModifica

• Polinomi quadratici complessi

ProprietàModifica

Chiuso moltiplicativamenteModifica

L’insieme di tutti i polinomi monici (su un dato anello (unitario) A e per una data variabile x) è chiuso sotto moltiplicazione, poiché il prodotto dei termini principali di due polinomi monici è il termine principale del loro prodotto. Così, i polinomi monici formano un semigruppo moltiplicativo dell’anello polinomiale A. In realtà, poiché il polinomio costante 1 è monico, questo semigruppo è anche un monoide.

Parzialmente ordinatoModifica

La restrizione della relazione di divisibilità all’insieme di tutti i polinomi monici (sull’anello dato) è un ordine parziale, e quindi rende questo insieme un poset. La ragione è che se p(x) divide q(x) e q(x) divide p(x) per due polinomi monici p e q, allora p e q devono essere uguali. La proprietà corrispondente non è vera per i polinomi in generale, se l’anello contiene elementi invertibili diversi da 1.

Soluzioni di equazioni polinomialiModifica

In altri aspetti, le proprietà dei polinomi monici e delle loro corrispondenti equazioni polinomiali moniche dipendono in modo cruciale dall’anello dei coefficienti A. Se A è un campo, allora ogni polinomio non nullo p ha esattamente un polinomio monico associato q: p diviso il suo coefficiente iniziale. In questo modo, quindi, ogni equazione polinomiale non banale p(x) = 0 può essere sostituita da un’equivalente equazione monica q(x) = 0. Per esempio, l’equazione generale reale di secondo grado

a x 2 + b x + c = 0 {displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}

(dove a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}

)

può essere sostituita da

x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle \ x^{2}+px+q=0}

,

sostituendo p = b/a e q = c/a. Così, l’equazione

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle 2x^{2}+3x+1=0}

è equivalente all’equazione monica

x 2 + 3 2 x + 1 2 = 0. {\displaystyle x^{2}+{\frac {3}{2}}x+{\frac {1}{2}=0.}

La formula generale della soluzione quadratica è quindi la forma leggermente più semplificata di:

x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) . {displaystyle x={frac {1}{2}} a sinistra(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}} a destra).}

IntegralityEdit

D’altra parte, se l’anello dei coefficienti non è un campo, ci sono differenze più essenziali. Per esempio, un’equazione polinomiale monica con coefficienti interi non può avere soluzioni razionali che non siano interi. Così, l’equazione

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {displaystyle \ 2x^{2}+3x+1=0}

potrebbe avere qualche radice razionale, che non è un intero, (e per inciso una delle sue radici è -1/2); mentre le equazioni

x 2 + 5 x + 6 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+5x+6=0}

e

x 2 + 7 x + 8 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+7x+8=0}

possono avere solo soluzioni intere o irrazionali.

Le radici dei polinomi monici a coefficienti interi sono chiamate interi algebrici.

Le soluzioni delle equazioni polinomiali moniche su un dominio integrale sono importanti nella teoria delle estensioni integrali e dei domini integralmente chiusi, e quindi nella teoria dei numeri algebrici. In generale, supponiamo che A sia un dominio integrale e anche un sottoanello del dominio integrale B. Consideriamo il sottoinsieme C di B, costituito da quegli elementi di B che soddisfano equazioni polinomiali moniche su A:

C := { b ∈ B : ∃ p ( x ) ∈ A , che è monico e tale che p ( b ) = 0 } . . {C:={b in B:∈ esiste ∈,p(x)∈ in A,,{\hbox{ che è monica e tale che }p(b)=0\}.

L’insieme C contiene A, poiché qualsiasi a ∈ A soddisfa l’equazione x – a = 0. Inoltre, è possibile dimostrare che C è chiuso sotto addizione e moltiplicazione. Quindi, C è un sottoanello di B. L’anello C è chiamato l’anello di A in B; o semplicemente la chiusura integrale di A, se B è il campo di frazione di A; e gli elementi di C sono detti integrali su A. Se qui A = Z {\displaystyle A=\mathbb {Z} }

(l’anello dei numeri interi) e B = C {\displaystyle B=\mathbb {C} }

(il campo dei numeri complessi), allora C è l’anello dei numeri interi algebrici.

IrriducibilitàModifica

Se p è un numero primo, il numero di polinomi monici irriducibili di grado n su un campo finito G F ( p ) {\displaystyle \mathrm {GF} (p)}

con p elementi è uguale alla funzione di conteggio della collana N p ( n ) {\displaystyle N_{p}(n)}

.

Se si toglie il vincolo di essere monico, questo numero diventa ( p – 1 ) N p ( n ) {displaystyle (p-1)N_{p}(n)}