Paul Cohen (1934-2007)
Paul Cohen era uno di una nuova generazione di matematici americani ispirati dall’afflusso di esuli europei negli anni della guerra. Lui stesso era un immigrato ebreo di seconda generazione, ma era incredibilmente intelligente ed estremamente ambizioso. Grazie alla sua intelligenza e alla sua forza di volontà, riuscì a conquistare fama, ricchezza e i più importanti premi matematici.
Fece i suoi studi a New York, Brooklyn e all’Università di Chicago, prima di ottenere una cattedra alla Stanford University. Ha vinto la prestigiosa medaglia Fields in matematica, così come la medaglia nazionale della scienza e il premio commemorativo Bôcher in analisi matematica. I suoi interessi matematici erano molto ampi, spaziando dall’analisi matematica e dalle equazioni differenziali alla logica matematica e alla teoria dei numeri.
Nei primi anni sessanta, si applicò seriamente al primo dei 23 elenchi di problemi aperti di Hilbert, l’ipotesi del continuo di Cantor, se esista o meno un insieme di numeri più grande dell’insieme di tutti i numeri naturali (o interi) ma più piccolo dell’insieme dei numeri reali (o decimali). Cantor era convinto che la risposta fosse “no”, ma non fu in grado di dimostrarlo in modo soddisfacente, e nemmeno nessun altro che si sia applicato al problema da allora.
Una delle varie formulazioni alternative degli assiomi di Zermelo-Fraenkel e dell’assioma della scelta
Dopo Cantor sono stati fatti alcuni progressi. Tra il 1908 e il 1922 circa, Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel svilupparono la forma standard della teoria assiomatica degli insiemi, che sarebbe diventata il fondamento più comune della matematica, nota come teoria degli insiemi Zermelo-Fraenkel (ZF, o, modificata dall’assioma di scelta, ZFC).
Kurt Gödel dimostrò nel 1940 che l’ipotesi del continuo è coerente con la ZF, e che l’ipotesi del continuo non può essere confutata dalla teoria standard degli insiemi Zermelo-Fraenkel, anche se si adotta l’assioma della scelta. Il compito di Cohen, quindi, era quello di dimostrare che l’ipotesi del continuo era indipendente dalla ZFC (o meno), e in particolare di dimostrare l’indipendenza dell’assioma della scelta.
Tecnica di forzatura
La straordinaria e audace conclusione di Cohen, a cui arrivò usando una nuova tecnica da lui stesso sviluppata chiamata “forzatura”, era che entrambe le risposte potevano essere vere, cioè che l’ipotesi del continuo e l’assioma della scelta erano completamente indipendenti dalla teoria degli insiemi ZF. Quindi, ci potevano essere due diverse matematiche, internamente coerenti: una in cui l’ipotesi del continuum era vera (e non esisteva un tale insieme di numeri), e una in cui l’ipotesi era falsa (e un insieme di numeri esisteva). La prova sembrava essere corretta, ma i metodi di Cohen, in particolare la sua nuova tecnica di “forzatura”, erano così nuovi che nessuno era davvero sicuro fino a quando Gödel diede finalmente il suo timbro di approvazione nel 1963.
Le sue scoperte furono rivoluzionarie quanto quelle di Gödel stesso. Da allora, i matematici hanno costruito due mondi matematici diversi, uno in cui l’ipotesi del continuo si applica e uno in cui non si applica, e le moderne prove matematiche devono inserire una dichiarazione che dichiari se il risultato dipende o meno dall’ipotesi del continuo.
La prova di Cohen che cambia il paradigma gli ha portato fama, ricchezza e molti premi matematici, ed è diventato un professore importante a Stanford e Princeton. Soddisfatto del successo, decise di affrontare il Santo Graal della matematica moderna, l’ottavo problema di Hilbert, l’ipotesi di Riemann. Tuttavia, ha finito per passare gli ultimi 40 anni della sua vita, fino alla sua morte nel 2007, sul problema, ancora senza risoluzione (anche se il suo approccio ha dato nuove speranze ad altri, compreso il suo brillante studente, Peter Sarnak).
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