che non tutti gli spazi di Banach devono soddisfare. (Il nome di questa legge deriva dalla sua interpretazione geometrica: le norme nella parte sinistra sono le lunghezze delle diagonali di un parallelogramma, mentre le norme nella parte destra sono le lunghezze dei lati.)

Inoltre, ogni spazio di Banach che satifica la legge del parallelogramma ha un unico prodotto interno che riproduce la norma, definito da

o 12(âx+yâ 2âxâyâ 2)\frac{1}{2}(|x + y|^2 – |x – y\|^2) nel caso reale.

Quindi, è possibile definire uno spazio di Hilbert come uno spazio di Banach che soddisfa la legge del parallelogramma. Questo in realtà funziona un po’ più in generale; uno spazio a prodotto interno semidefinito positivo è uno spazio vettoriale pseudonormato che soddisfa la legge del parallelogramma. (Non possiamo, tuttavia, recuperare un prodotto interno indefinito da una norma.)

Spazi Hilbert come spazi metrici

In qualsiasi spazio a prodotto interno semidefinito positivo, sia la distanza d(x,y)d(x,y)

Allora dd è una pseudometrica; è una metrica completa se e solo se abbiamo uno spazio di Hilbert.

In effetti, gli assiomi di uno spazio di Banach (o spazio vettoriale pseudonormato) possono essere scritti interamente in termini di metrica; possiamo anche enunciare la legge del parallelogramma come segue:

Nelle definizioni, è probabilmente più comune vedere la metrica introdotta solo per dichiarare il requisito di completezza. Infatti, (1) dice che la sequenza di somme parziali è una sequenza di Cauchy, mentre (2) dice che la sequenza di somme parziali converge a SS.

Spazi Hilbert come spazi conformali

Dati due vettori xx e yy, entrambi non nulli, sia l’angolo tra loro l’angolo θ(x,y)\theta(x,y) il cui coseno è

(Si noti che questo angolo può essere immaginario in generale, ma non per uno spazio di Hilbert su R.)

Uno spazio di Hilbert non può essere ricostruito interamente dai suoi angoli, comunque (anche dato lo spazio vettoriale sottostante). Il prodotto interno può essere recuperato solo fino a un fattore di scala positivo.

Morfismi degli spazi di Hilbert

Vedi la discussione allo spazio di Banach. C’è altro da dire qui riguardo ai duali (incluso il perché la teoria degli spazi di Hilbert è leggermente più bella su âmathbb{C} mentre quella degli spazi di Banach è leggermente più bella su âmathbb{R}).

Esempi

Spazi di Banach

Tutti gli esempi di pp-parametrised allo spazio di Banach si applicano se si prende p=2p = 2.

In particolare, lo spazio vettoriale nn-dimensionale â n\mathbb{C}^n è uno spazio complesso di Hilbert con

Qualunque sottocampo KK di \mathbb{C} dà uno spazio prodotto interno definito positivo K nK^n il cui completamento è o \mathbb{R}^n o \mathbb{C}^n. In particolare, lo spazio cartesiano nathmathbb{R}^n è uno spazio reale di Hilbert; le nozioni geometriche di distanza e angolo definite sopra concordano con la geometria euclidea ordinaria per questo esempio.

Di funzioni Lebesgue integrabili al quadrato su un collettore

Gli spazi L- Hilbert L 2(â)L^2(\mathbb{R}), L 2()L^2(), L 2(â 3)L^2(\mathbb{R}^3), ecc (reali o complessi) sono molto ben noti. In generale, L 2(X)L^2(X) per XX uno spazio di misura consiste nelle funzioni definite quasi ovunque ff da XX al campo scalare (\mathbb{R} o \mathbb{C}) tali che â”|f| 2 \int |f|^2 converge ad un numero finito, con funzioni identificate se sono uguali quasi ovunque; si ha ‗f,g‖ = ‖ f, ‗grangolo’ = ‗int ‗bar{f} g, che converge per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Nei casi specifici elencati (e in generale, quando XX è uno spazio Hausdorff localmente compatto), possiamo anche ottenere questo spazio completando lo spazio del prodotto interno definito positivo delle funzioni continue supportate in modo compatto.

Di semidensità integrabili al quadrato

• spazio di Hilbert canonico di semidensità

Proprietà

Basi

Un risultato fondamentale è che astrattamente gli spazi di Hilbert sono tutti dello stesso tipo: ogni spazio di Hilbert HH ammette una base ortonormale, cioè un sottoinsieme SâHS \subseteq H la cui mappa di inclusione si estende (necessariamente in modo unico) ad un isomorfismo

di spazi di Hilbert. Qui l 2(S)l^2(S) è lo spazio vettoriale costituito da quelle funzioni xx da SS al campo scalare tali che

converte in un numero finito; questo può anche essere ottenuto completando lo spazio vettoriale delle combinazioni lineari formali degli elementi di SS con un prodotto interno determinato unicamente dalla regola

in cui δ uv\delta_{u v} indica il delta di Kronecker. Abbiamo così, in l 2(S)l^2(S),

(Questa somma converge per la disuguaglianza di CauchyâSchwarz.)

In generale, questo risultato utilizza l’assioma della scelta (di solito nella forma del lemma di Zorn e del mezzo escluso) nella sua dimostrazione, ed è equivalente ad esso. Tuttavia, il risultato per gli spazi di Hilbert separabili ha bisogno solo della scelta dipendente e quindi è costruttivo per gli standard della maggior parte delle scuole. Anche senza scelta dipendente, basi orto-normali esplicite per particolari L 2(X)L^2(X) possono spesso essere prodotte usando tecniche di approssimazione dell’identità, spesso in concerto con un processo di Gram-Schmidt.

In particolare, tutti gli spazi di Hilbert separabili infiniti sono astrattamente isomorfi a l 2(â)l^2(\mathbb{N}).

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

La disuguaglianza di Schwarz (o disuguaglianza di Cauchy, ecc.) è molto comoda:

Sono in realtà due teoremi (almeno): un teorema astratto che la disuguaglianza vale in qualsiasi spazio di Hilbert, e teoremi concreti che vale quando il prodotto interno e la norma sono definiti dalle formule usate negli esempi L 2(X)L^2(X) e l 2(S)l^2(S) sopra. I teoremi concreti si applicano anche a funzioni che non appartengono allo spazio di Hilbert e quindi dimostrano che il prodotto interno converge ogni volta che le norme convergono. (Un risultato un po’ più forte è necessario per concludere questa convergenza in modo costruttivo; può essere trovato nel libro di Errett Bishop.)

• spazio di Hilbert truccato

• Modulo di Hilbert C-stella, bimodulo di Hilbert

• spazio vettoriale di Kähler

I conti standard degli spazi di Hilbert nella meccanica quantistica includono

• John von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik.

  (tedesco) Fondamenti matematici della meccanica quantistica. Berlino, Germania: Springer Verlag, 1932.

• George Mackey, The Mathematical Foundations of Quamtum Mechanics A

  Lecture-note Volume, ser. La serie di monografie di fisica matematica. Princeton university, 1963

• E. PrugoveÄki, Meccanica quantistica nello spazio di Hilbert. Academic Press, 1971.