L’operazione delle espressioni razionali potrebbe sembrare difficile per alcuni studenti, ma le regole per moltiplicare le espressioni sono le stesse per i numeri interi. In matematica, un numero razionale è definito come un numero che ha la forma p/q, dove p e q sono interi e q non è uguale a zero.

Esempi di numeri razionali sono: 2/3, 5/8, -3/14, -11/-5, 7/-9, 7/-15 e -6/-11 ecc.

Un’espressione algebrica è una frase matematica in cui variabili e costanti sono combinate usando i simboli operativi (+, -, × & ÷).

Per esempio, 10x + 63 e 5x – 3 sono esempi di espressioni algebriche. Allo stesso modo, l’espressione razionale è nella forma p/q e sia p che q sono espressioni algebriche.

Esempi di espressione razionale includono: 3/ (x – 3), 2/ (x + 5), (4x – 1)/3, (x2 + 7x)/6, (2x + 5)/ (x2 + 3x – 10), (x + 3)/(x + 6) ecc.

Come moltiplicare espressioni razionali?

In questo articolo, impareremo come moltiplicare le espressioni razionali, ma prima, ricordiamoci che si moltiplicano due frazioni.

La moltiplicazione di due frazioni implica trovare il prodotto del numeratore della prima e della seconda frazione e il prodotto del denominatore. In altre parole, la moltiplicazione di due numeri razionali è uguale al prodotto dei numeratori/prodotto dei loro denominatori.

In alternativa, è possibile eseguire la moltiplicazione di espressioni razionali; prima fattorizzando e annullando il numeratore e il denominatore e poi moltiplicando i fattori rimanenti.

Di seguito sono riportati i passi necessari per la moltiplicazione di espressioni razionali:

• Fattorizzare sia il denominatore che il numeratore di ogni espressione.
• Riduci le espressioni ai termini più bassi possibili solo se i fattori nei numeratori e nei denominatori sono comuni o simili.
• Moltiplica insieme le espressioni rimanenti.

Esempio 1

Moltiplicare 3/5y * 4/3y

Soluzione

Moltiplicare separatamente i numeratori e i denominatori;

3/5y * 4/3y = (3 * 4)/ (5y * 3y)

= 12/15y 2

Riduci la frazione annullando per 3;

12/15y 2 = 4/5y2

Esempio 2

Moltiplica {(12x – 4x 2)/ (x 2 + x -12)} * {(x 2 + 2x -8)/ (x 3-4x)}

Soluzione

Factor out entrambi i numeratori e denominatori di ogni espressione;

= {- 4x (x – 3)/(x-3) (x + 4)} * {(x – 2) (x + 4)/x (x + 2) (x – 2)}

Riduci o annulla le espressioni e riscrivi la frazione rimanente;

= -4/ x + 2

Esempio 3

Moltiplica (x 2 – 3x – 4/x 2 -x -2) * (x 2 – 4/ x2 + x – 20).

Soluzione

Fattorizzare i numeratori e i denominatori di tutte le espressioni;

= (x – 4) (x + 1)/ (x + 1) (x – 2) * (x + 2) (x – 2)/ (x – 4) (x + 5)

Cancellare e riscrivere i fattori rimanenti;

= x + 2/ x + 5

Esempio 4

Moltiplica

(9 – x 2/x 2 + 6x + 9) * (3x + 9/3x – 9)

Soluzione

Fattorizza i numeratori e denominatori e annulla i fattori comuni;

= – 1 (x + 3) (x – 3)/ (x + 3)2 * 3(x + 3)/3(x – 30

= -1

Esempio 5

Semplificare: (x2+5x+4) * (x+5)/(x2-1)

Soluzione

Per fattorizzare il numeratore e il denominatore, otteniamo;

=>(x+1) (x+4) (x+5)/(x+1) (x-1)

Annullando i termini comuni, otteniamo;

=>(x+4) (x+5)/x-1

Esempio 6

Moltiplicare ((x + 5) / (x – 4)) * (x / x + 1)

Soluzione

= ((x + 5) * x) / ((x – 4) * (x + 1))

= (x2 + 5x) / (x2 – 4x + x – 4)

= (x2 + 5x) / (x2 – 3x- 4)

Quando si moltiplica un numero intero per un’espressione algebrica, si moltiplica semplicemente il numero per il numeratore dell’espressione.

Questo è possibile perché, qualsiasi numero intero ha sempre un denominatore di 1. E quindi, le regole di moltiplicazione tra un’espressione e un intero non cambia.

Considerate l’esempio 7 qui sotto:

Esempio 7

Moltiplicare ((x + 5) / (x2 – 4)) * x

Soluzione

= ((x + 5) / (x2 – 4)) * x / 1

= (x + 5) * x / (x2 – 4) × 1

= (x2 + 5x) / (x2 – 4)

Domande pratiche

Semplificare le seguenti espressioni razionali:

Risposte