I modelli utilizzati in MPC sono generalmente destinati a rappresentare il comportamento di sistemi dinamici complessi. La complessità aggiuntiva dell’algoritmo di controllo MPC non è generalmente necessaria per fornire un adeguato controllo di sistemi semplici, che sono spesso controllati bene da generici controllori PID. Le caratteristiche dinamiche comuni che sono difficili per i controllori PID includono grandi ritardi temporali e dinamiche di alto ordine.
I modelli MPC prevedono il cambiamento nelle variabili dipendenti del sistema modellato che sarà causato da cambiamenti nelle variabili indipendenti. In un processo chimico, le variabili indipendenti che possono essere regolate dal regolatore sono spesso o i setpoint dei regolatori PID (pressione, flusso, temperatura, ecc.) o l’elemento di controllo finale (valvole, serrande, ecc.). Le variabili indipendenti che non possono essere regolate dal regolatore sono utilizzate come disturbi. Le variabili dipendenti in questi processi sono altre misure che rappresentano obiettivi di controllo o vincoli di processo.
MPC utilizza le misure attuali dell’impianto, lo stato dinamico attuale del processo, i modelli MPC e gli obiettivi e i limiti delle variabili di processo per calcolare i cambiamenti futuri delle variabili dipendenti. Questi cambiamenti sono calcolati per mantenere le variabili dipendenti vicino al target mentre si rispettano i vincoli sulle variabili indipendenti e dipendenti. L’MPC tipicamente invia solo il primo cambiamento in ogni variabile indipendente da implementare, e ripete il calcolo quando è richiesto il prossimo cambiamento.
Mentre molti processi reali non sono lineari, spesso possono essere considerati approssimativamente lineari in un piccolo intervallo operativo. Gli approcci MPC lineari sono usati nella maggior parte delle applicazioni con il meccanismo di feedback dell’MPC che compensa gli errori di previsione dovuti alla mancata corrispondenza strutturale tra il modello e il processo. Nei controllori predittivi del modello che consistono solo in modelli lineari, il principio di sovrapposizione dell’algebra lineare permette di sommare l’effetto dei cambiamenti in più variabili indipendenti per prevedere la risposta delle variabili dipendenti. Questo semplifica il problema di controllo a una serie di calcoli diretti di algebra matriciale che sono veloci e robusti.
Quando i modelli lineari non sono sufficientemente accurati per rappresentare le reali non linearità del processo, possono essere usati diversi approcci. In alcuni casi, le variabili di processo possono essere trasformate prima e/o dopo il modello MPC lineare per ridurre la non linearità. Il processo può essere controllato con MPC non lineare che utilizza un modello non lineare direttamente nell’applicazione di controllo. Il modello non lineare può essere sotto forma di un adattamento empirico dei dati (per esempio reti neurali artificiali) o un modello dinamico ad alta fedeltà basato sui bilanci fondamentali di massa ed energia. Il modello non lineare può essere linearizzato per derivare un filtro di Kalman o specificare un modello per MPC lineare.
Uno studio algoritmico di El-Gherwi, Budman e El Kamel mostra che l’utilizzo di un approccio dual-mode può fornire una riduzione significativa dei calcoli online, mantenendo prestazioni comparabili a un’implementazione non modificata. L’algoritmo proposto risolve N problemi di ottimizzazione convessa in parallelo basati sullo scambio di informazioni tra i controllori.
Teoria dietro MPCEdit
MPC è basato sull’ottimizzazione iterativa ad orizzonte finito di un modello di impianto. Al tempo t {displaystyle t}
lo stato attuale dell’impianto viene campionato e una strategia di controllo che minimizza i costi viene calcolata (tramite un algoritmo di minimizzazione numerica) per un orizzonte temporale relativamente breve nel futuro: {displaystyle }
. In particolare, un calcolo online o al volo viene utilizzato per esplorare le traiettorie di stato che emanano dallo stato corrente e trovare (tramite la soluzione delle equazioni di Eulero-Lagrange) una strategia di controllo che minimizza i costi fino al tempo t + T {\displaystyle t+T}
. Solo il primo passo della strategia di controllo viene implementato, poi lo stato dell’impianto viene campionato di nuovo e i calcoli vengono ripetuti a partire dal nuovo stato attuale, ottenendo un nuovo controllo e un nuovo percorso di stato previsto. L’orizzonte di previsione continua ad essere spostato in avanti e per questo motivo MPC è anche chiamato controllo ad orizzonte recedente. Anche se questo approccio non è ottimale, in pratica ha dato ottimi risultati. Molta ricerca accademica è stata fatta per trovare metodi veloci di soluzione delle equazioni di tipo Euler-Lagrange, per capire le proprietà di stabilità globale dell’ottimizzazione locale di MPC, e in generale per migliorare il metodo MPC.
Principi di MPCEdit
Model Predictive Control (MPC) sono un algoritmo di controllo multivariabile che utilizza:
- un modello dinamico interno del processo
- una funzione di costo J sull’orizzonte discendente
- un algoritmo di ottimizzazione che minimizza la funzione di costo J usando l’input di controllo u
Un esempio di funzione di costo quadratica per l’ottimizzazione è dato da:
J = ∑ i = 1 N w x i ( r i – x i ) 2 + ∑ i = 1 N w u i Δ u i 2 {\displaystyle J=sum _{i=1}^{N}w_{x_{i}}(r_{i}-x_{i})^{2}+\sum _{i=1}^{N}w_{u_{i}}}{\Delta u_{i}^{2}
senza violare i vincoli (limiti bassi/alti) con
x i {displaystyle x_{i}
: i {displaystyle i}
la terza variabile controllata (ad esempio la temperatura misurata) r i {\displaystyle r_{i}}
: i {displaystyle i}