Come la sonda New Horizons si sta avvicinando a Plutone, sta ottenendo delle belle foto. L’animazione qui sotto mostra Plutone e Caronte mentre orbitano l’uno intorno all’altro.

Quando un pianeta (o pianeta nano) ha un satellite, si può usare il movimento di quell’oggetto per trovare la massa del pianeta. Non è troppo difficile. Infatti, usiamo l’animazione qui sopra per stimare la massa di Plutone. Ok, c’è solo una cosa di cui abbiamo bisogno che non è nel video. Dobbiamo conoscere la distanza da Caronte a Plutone. In realtà, se conoscessi il campo visivo angolare della telecamera, potrei ottenere la distanza orbitale dalla separazione angolare tra i due oggetti. Tuttavia, per questo esempio cercherò semplicemente questo valore e userò una distanza Plutone-Charon di 1,957 x 107 m.

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Inoltre, un paio di altre note su questo video Plutone-Charon.

• La sequenza di immagini mostra Plutone e Caronte mentre la sonda si avvicina ai due oggetti. Questo significa che la scala delle distanze cambia in ogni fotogramma.
• Questo video è relativo al centro di massa dell’orbita di Caronte-Plutone. Potete vedere che sia Plutone che Caronte stanno orbitando intorno a un centro comune.
• Non stiamo vedendo l’orbita da un angolo completamente perpendicolare. Questo significa che Caronte non sembra muoversi in cerchio (anche se essenzialmente lo è).

Fisica di base

Ci sono davvero solo due principi fisici di cui abbiamo bisogno per questo problema: la forza gravitazionale e l’accelerazione di un oggetto che si muove in cerchio. Cominciamo con la gravità.

Il modello per l’interazione gravitazionale dice che c’è una forza attrattiva che attira gli oggetti con massa. La grandezza di questa forza è proporzionale al prodotto delle masse dei due oggetti che interagiscono e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra gli oggetti. Posso scrivere la grandezza di questa forza come:

La G è solo una costante, quindi non preoccupatevi di questo. Ma c’è un’altra cosa importante. La forza gravitazionale sta sempre tirando i due oggetti insieme ed è nella direzione dell’altro oggetto.

L’altra idea importante è considerare l’accelerazione di un oggetto che si muove in un cerchio – sì, sia Plutone che Caronte si stanno muovendo in un cerchio intorno ad un centro comune. Ecco un diagramma (ma non in scala).

Ogni oggetto che si muove in cerchio (anche a velocità costante) sarà in accelerazione. La direzione di questa accelerazione sarà rivolta verso il centro del cerchio e avrà una grandezza che dipende sia dalla velocità angolare che dal raggio del cerchio. Questa accelerazione può essere scritta come:

Qui ω è la velocità angolare dell’oggetto in radianti al secondo. Ma credo che ci sia un’altra cosa fisica da guardare: la relazione tra forza e accelerazione. Semplicemente, maggiore è la forza netta su un oggetto, maggiore è l’accelerazione.

Ora per mettere tutto insieme. La forza è la forza gravitazionale e l’accelerazione è dovuta al moto circolare. C’è un problema. Se scrivo questo per il moto di Caronte allora la forza gravitazionale userà la distanza da Caronte a Plutone ma l’accelerazione userà la distanza da Caronte al centro del moto rotatorio. Giusto per essere chiari, chiamerò la distanza tra gli oggetti r e il raggio dell’orbita circolare di Caronte sarà rc. Inoltre, poiché la forza gravitazionale (l’unica forza) è nella stessa direzione dell’accelerazione, posso scrivere questo come un’equazione scalare.

La massa di Caronte si annulla e così posso risolvere per la massa di Plutone.

Quindi tutto quello che mi serve sono le due distanze e la velocità angolare dell’orbita di Caronte.

Cercare i valori

Ho già detto che avrei cercato la distanza da Plutone a Caronte. Tuttavia, ho bisogno della distanza da Caronte al centro del cerchio orbitale. Saltando i fotogrammi dell’animazione, posso trovare quello che mostra Caronte e Plutone più distanti – è a questo punto che posso vedere la dimensione completa dell’orbita (senza prospettiva). Usando questa immagine e la distanza da Plutone a Caronte, ottengo un raggio dell’orbita circolare di 1,69 x 107 m.

Ora ho solo bisogno della velocità angolare dell’orbita. Se scelgo un fotogramma con Caronte quasi sopra Plutone e poi quando è quasi sotto di esso, sarebbe mezza orbita. Guardando gli indicatori di tempo su ogni fotogramma, questo darebbe un tempo di circa 3,2 giorni (276.480 secondi). Questo metterebbe la velocità angolare come:

Utilizzando una costante gravitazionale di G = 6,67 x 10-11 N*m2/kg2 posso inserire tutti i miei valori per calcolare la massa. Facendo i calcoli, ottengo una massa di Plutone di 1,24 x 1022 kg. BOOM. Questo è abbastanza vicino al valore elencato su 22Wikipedia con un valore di 1,3 x 1022. Lo considero abbastanza vicino da contare come una vittoria.

E la massa di Caronte? Puoi usare questa stessa idea e la distanza orbitale per l’orbita di Plutone e ottenere una stima della massa. È un compito a casa per te.

Modello numerico

Per divertimento, ecco un modello numerico che mostra il moto di Plutone e Caronte.

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Il codice sopra è su trinket.io. Questo significa che potete sia guardare il codice che cambiarlo. Prova a cambiare le masse dei pianeti e vedi cosa succede. Notate che se il momento iniziale dei due pianeti non si somma al vettore zero, il centro di massa non rimane fermo. È roba divertente.