Morrow proviene da una famiglia di hockey. Suo padre, Dave Morrow, ha giocato per gli Indianapolis Racers della World Hockey Association.

I Pittsburgh Penguins hanno selezionato Morrow al primo turno (n. 23) del Draft NHL 2011, ma non ha mai giocato una partita per loro dopo aver firmato il 3 agosto 2011.

Ha giocato ancora una stagione per Portland della Western Hockey League, finendo con 64 punti (17 gol, 47 assist) in 62 partite. Morrow ha trascorso la maggior parte della stagione 2012-13 con Wilkes-Barre/Scranton della American Hockey League prima di essere scambiato con i Dallas Stars il 24 marzo 2013.

Il 4 luglio 2013, Morrow è stato acquisito dai Boston Bruins come parte di una trade a otto giocatori che ha mandato l’attaccante Tyler Seguin agli Stars. Morrow fece il suo debutto in NHL con i Bruins il 30 ottobre 2014, e segnò il suo primo gol NHL contro i Penguins il 24 novembre. Tuttavia, dopo aver giocato altre tre partite, fu mandato a Providence della AHL per il resto della stagione.

Morrow giocò 33 partite per i Bruins nel 2015-16 e 17 nel 2016-17 prima di firmare con i Montreal Canadiens come free agent il 1º luglio 2017. Stava avendo la sua migliore stagione offensiva in NHL (cinque gol, sei assist) in 38 partite prima di essere acquisito dai Winnipeg Jets il 26 febbraio 2018.

Morrow aveva cinque punti (un gol, quattro assist) in 18 partite per i Jets. Ha vestito per sei delle loro 17 partite nei playoff della Stanley Cup, compreso il gol vincente in gara 1 del primo turno della Western Conference contro i Minnesota Wild.

I Jets hanno firmato Morrow per un contratto di un anno il 26 giugno 2018.

Note &Transazioni

• WHL West First All-Star Team (2012)
• Trasferito a Dallas da Pittsburgh con la scelta del 5º turno di Pittsburgh (Matej Paulovic) nel Draft NHL 2013 per Brenden Morrow e la scelta del 3º turno di Minnesota (precedentemente acquisita, Pittsburgh ha selezionato Jake Guentzel) nel Draft NHL 2013, 24 marzo 2013.
• Trasferito a Boston da Dallas con Loui Eriksson, Reilly Smith e Matt Fraser per Tyler Seguin, Rich Peverley e Ryan Button, 4 luglio 2013.
• Firmato come free agent da Montreal, 1 luglio 2017.
• Trasferito a Winnipeg da Montreal per la scelta di Winnipeg al 4º turno del Draft NHL 2018, 26 febbraio 2018.
• Firmato come free agent da New Jersey, 6 ottobre 2019.