Paul Cohen (1934-2007)

Paul Cohen egyike volt az amerikai matematikusok új generációjának, akiket a háború éveiben beáramló európai száműzöttek inspiráltak. Ő maga második generációs zsidó bevándorló volt, de ijesztően intelligens és rendkívül ambiciózus. Puszta intelligenciája és akaratereje révén hírnevet, gazdagságot és a legmagasabb matematikai díjakat szerezte meg magának.

A New York-i, a brooklyni és a chicagói egyetemen tanult, majd a Stanford Egyetem professzori székéig küzdötte fel magát. Ezt követően elnyerte a rangos Fields-érmet matematikából, valamint a Nemzeti Tudományos Érmet és a Bôcher-emlékdíjat matematikai analízisből. Matematikai érdeklődése igen széleskörű volt, a matematikai analízistől és a differenciálegyenletektől a matematikai logikáig és a számelméletig terjedt.

A hatvanas évek elején komolyan foglalkozott Hilbert 23 nyitott problémájának első listájával, Cantor kontinuumhipotézisével, vagyis azzal, hogy létezik-e olyan számhalmaz, amely nagyobb az összes természetes (vagy egész) számok halmazánál, de kisebb a valós (vagy tizedes) számok halmazánál. Cantor meg volt győződve arról, hogy a válasz “nem”, de nem tudta kielégítően bebizonyítani, és azóta sem volt képes senki más, aki a problémával foglalkozott.

A Zermelo-Fraenkel-axiómák és a választási axióma több alternatív megfogalmazása közül az egyik

A Cantor óta történt némi előrelépés. Körülbelül 1908 és 1922 között Ernst Zermelo és Abraham Fraenkel kidolgozta az axiomatikus halmazelmélet standard formáját, amely a matematika legelterjedtebb alapjává vált, Zermelo-Fraenkel halmazelmélet (ZF, vagy a választás axiómája által módosított formában ZFC) néven.

Kurt Gödel 1940-ben kimutatta, hogy a kontinuumhipotézis összhangban van a ZF-fel, és hogy a kontinuumhipotézis nem cáfolható a standard Zermelo-Fraenkel halmazelméletből, még a választás axiómájának elfogadása esetén sem. Cohen feladata tehát az volt, hogy megmutassa, hogy a kontinuumhipotézis független a ZFC-től (vagy sem), és konkrétan bebizonyítsa a választás axiómájának függetlenségét.

Kényszerítő technika

Cohen rendkívüli és merész következtetése, amelyhez egy általa kifejlesztett új, “kényszerítő technikával” jutott el, az volt, hogy mindkét válasz igaz lehet, vagyis hogy a kontinuumhipotézis és a választás axiómája teljesen független a ZF halmazelméletétől. Így két különböző, belsőleg konzisztens matematika létezhetett: egy olyan, ahol a kontinuumhipotézis igaz volt (és nem létezett ilyen számhalmaz), és egy olyan, ahol a hipotézis hamis volt (és létezett számhalmaz). A bizonyítás helyesnek tűnt, de Cohen módszerei, különösen a “kényszerítés” új technikája annyira új volt, hogy senki sem volt igazán biztos benne, amíg Gödel végül 1963-ban rá nem nyomta a bélyegét.

Az ő eredményei ugyanolyan forradalmiak voltak, mint Gödel sajátjai. Azóta a matematikusok két különböző matematikai világot építettek fel, egy olyat, amelyben a kontinuitási hipotézis érvényes, és egy olyat, amelyben nem, és a modern matematikai bizonyításokba be kell illeszteni egy olyan kijelentést, amely kijelenti, hogy az eredmény függ-e a kontinuitási hipotézistől vagy sem.

Cohen paradigmaváltó bizonyítása hírnevet, gazdagságot és matematikai díjakat hozott neki, és a Stanford és a Princeton legjobb professzora lett. A sikertől elragadtatva úgy döntött, hogy nekivág a modern matematika Szent Gráljának, Hilbert nyolcadik problémájának, a Riemann-hipotézisnek. Végül azonban élete utolsó 40 évét, egészen 2007-ben bekövetkezett haláláig, a problémával töltötte, még mindig megoldatlanul (bár megközelítése új reményt adott másoknak, köztük zseniális tanítványának, Peter Sarnaknaknak).

<< Vissza Weilhez

Előre Robinsonhoz és Matiyasevichhez >>