Idea

Dr. von Neumann, ich möchte gerne wissen, was ist denn eigentlich ein Hilbertscher Raum ? 1

A Hilbert-tér az euklideszi geometria hagyományos tereinek egy (esetleg) végtelen dimenziós általánosítása, amelyben a távolság és a szög fogalmainak még van értelme. Ez egy algebrai művelet, a belső szorzat segítségével történik, amely általánosítja a pontszorzatot.

A Hilbert-tér a nagyvilág számára a fizikában való alkalmazása révén vált ismertté, ahol a kvantumrendszerek tiszta állapotait rendszerezik.

A Hilbert terek egy kategóriát alkotnak, a Hilb.

Lásd még

• a Hilbert terek elemi kezelését.

Definíciók

Legyen VV egy vektortér a komplex számok mezeje felett. (A mező kiválasztását némileg általánosíthatjuk.) Egy belső szorzat (a legáltalánosabb, esetleg határozatlan értelemben) VV-n egy függvény

az (1â3) szeszkvilineáris és (4) konjugált szimmetrikus; azaz:

1. â¨0,xâ©=0 \szög 0, x \szög = 0 és â¨x,0â©=0 \szög x, 0 \szög = 0 ;
2. â¨x+y,zâ©=â¨x,zâ©+â¨y,zâ© \szög x + y, z \szög = \szög x, z \szög + \szög y, z \szög és â¨x,y+zâ©=â¨x,yâ©+â¨x,zâ© \szög x, y + z \szög = \szög x, y \szög + \szög x, z \szög ;
3. â¨cx,yâ©=c¯â¨x,yâ© \langle c x, y \rangle = \bar{c} \szög x, y \szög és â¨x,cyâ©=câ¨x,yâ© \szög x, c y \szög = c \szög x, y \szög ;
4. â¨x,yâ©=â¨y,xâ©Â¯ \szög x, y \szög = \overline{\szög y, x \szög} .

Itt a fizikusok konvencióját használjuk, miszerint a belső szorzat konjugált-lineáris az első változóban, nem pedig a másodikban, nem pedig a matematikusok konvencióját, ami fordítva van. A fizikusok konvenciója egy kicsit jobban illik a 22-Hilbert terekhez. Vegyük észre, hogy a belső szorzat értékeiként ugyanazt a mezőt használjuk, mint a skalárok esetében; a komplex konjugáció a mező egyes választásainál irreleváns lesz.

A fenti axióma-lista meglehetősen redundáns. Először is, (1) a (3)-ból következik c=0c = 0 beállításával; emellett (1â3) párban jönnek, amelyek közül csak az egyikre van szükség, mivel mindegyik fele a (4) segítségével következik a másikból. Még az is lehetséges, hogy (3) a (2)-ből levezethető, ha feltételezzük, hogy VV egy topológiai vektortér, és hogy a belső szorzat folytonos (ami, mint látni fogjuk, egy Hilbert-térre egyébként is mindig igaz).

A következő meghatározandó fogalom a (fél)határozottság. Egy âââ 2:Vââ\|{-}\|^2: V \to \mathbb{C} függvényt az âxâ 2=â¨x,xâ©\|x\|^2 = \szög x, x \szög; valójában âââ 2\|{-}\|^2 csak valós értékeket vesz fel, (4) szerint. * A belső szorzat pozitív szemidefinit, vagy egyszerűen pozitív, ha âxâ 2â¥0\|x\|^2 \geq 0 mindig. * Vegyük észre, hogy (az 1) szerint âxâ 2=0\|x\|^2 = 0, ha x=0x = 0; a belső szorzat határozott, ha fordítva is igaz. * Egy belső szorzat pozitív definit, ha egyszerre pozitív és definit. * Mellékesen megjegyezzük, hogy léteznek negatív (fél)határozott belső szorzatok is, amelyek valamivel kevésbé kényelmesek, de nem igazán különböznek. Egy belső szorzat határozatlan, ha néhány âxâ 2\|x\|^2 pozitív és néhány negatív; ezeknek egészen más az ízük.

A belső szorzat akkor teljes, ha bármely végtelen (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) sorozat esetén

létezik egy olyan (szükségszerűen egyedi) összeg SS, hogy

Ha a belső szorzat határozott, akkor ennek az összegnek, ha létezik, egyedinek kell lennie, és azt írjuk

(a jobb oldali definálatlan, ha ilyen összeg nem létezik).

A Hilbert-tér tehát egyszerűen egy teljes pozitív definit belső szorzattal ellátott vektortér.

Hilbert terek mint Banach terek

Ha egy belső szorzat pozitív, akkor âxâ 2=â¨x,xâ©\|x\|^2 = \hosszúság x, x \hosszúság fő négyzetgyökét véve megkapjuk az âxâ\|x\| valós számot, az xx normáját.

Ez a norma kielégíti a Banach terek összes követelményét. Ezen kívül kielégíti a párhuzamos törvényt

amelynek nem minden Banach-térnek kell megfelelnie. (A törvény neve a geometriai értelmezéséből származik: a bal oldali normák a párhuzamosok átlóinak hosszát, míg a jobb oldali normák az oldalak hosszát jelentik.)

Minden olyan Banach-térnek, amely kielégíti a párhuzamos törvényt, van egy egyedi belső szorzata, amely reprodukálja a normát, és amelyet

vagy 12(âx+yâ 2ââxâyâ 2)\frac{1}{2}(\|x + y\|^2 – \|x – y\|^2) valós esetben.

Ezért a Hilbert-tér definiálható olyan Banach-térként, amely kielégíti a párhuzamos törvényt. Ez valójában egy kicsit általánosabban működik; egy pozitív szemidefinit belső szorzatú tér egy olyan pszeudonormált vektortér, amely kielégíti a párhuzamos törvényt. (Egy határozatlan belső szorzatot azonban nem tudunk visszanyerni egy normából.)

Hilbert terek mint metrikus terek

Minden pozitív szemidefinit belső szorzatú térben legyen a d(x,y)d(x,y) távolság

Ezután dd egy pszeudometria; akkor és csak akkor teljes metrika, ha Hilbert-térrel rendelkezünk.

Tény, hogy egy Banach-tér (vagy pszeudonormált vektortér) axiómái teljesen felírhatók a metrika szempontjából; a párhuzamos törvényt is így fogalmazhatjuk meg:

A definíciókban talán a leggyakrabban a metrika bevezetésével csak a teljesség követelményének megállapítására találkozunk. Az (1) ugyanis azt mondja, hogy a részösszegek sorozata Cauchy-sorozat, míg a (2) azt mondja, hogy a részösszegek sorozata SS-hez konvergál.

Hilbert terek mint konformális terek

Adott két xx és yy vektor, mindkettő nem nulla, legyen a köztük lévő szög az θ(x,y)\theta(x,y) szög, amelynek koszinusza

(Megjegyezzük, hogy ez a szög általában képzeletbeli lehet, de nem egy â\mathbb{R} feletti Hilbert-tér esetében.)

Egy Hilbert-tér azonban nem rekonstruálható teljesen a szögeiből (még a mögöttes vektortér ismeretében sem). A belső szorzat csak egy pozitív skálafaktorig állítható helyre.

Hilbert terek morfizmusai

Lásd a tárgyalást a Banach-térnél. A duálokról itt még több szó esik (többek között arról, hogy miért szebb a Hilbert-tér elmélete a â\mathbb{C} felett, míg a Banach-téré a â\mathbb{R} felett).

Példák

Banach-tér

A Banach-térnél a pp-paraméteres példák mindegyike érvényes, ha p=2p = 2-t veszünk.

Az nn-dimenziós vektortér â n\mathbb{C}^n egy komplex Hilbert-tér, amelynek

A â\mathbb{C} bármely KK altartománya pozitív definit belső szorzatú K nK^n teret ad, amelynek kiteljesedése vagy â n\mathbb{R}^n vagy â n\mathbb{C}^n. Különösen a â n\mathbb{R}^n kartéziánus tér egy valós Hilbert-tér; a távolság és a szög fent meghatározott geometriai fogalmai megegyeznek a közönséges euklideszi geometriával erre a példára.

A Lebesgue-féle négyzetintegrálható függvények egy sokaság felett

Az L- Hilbert terek L 2(â)L^2(\mathbb{R}), L 2()L^2(), L 2(â 3)L^2(\mathbb{R}^3), stb (valós vagy komplex) nagyon jól ismertek. Általánosságban az L 2(X)L^2(X) XX egy mérettérre az XX-ről a skalármezőre (â\mathbb{R} vagy â\mathbb{C}) vonatkozó, majdnem mindenhol meghatározott ff függvényekből áll, úgy, hogy â”|f| 2 \int |f|^2 véges számhoz konvergál, a függvényekkel azonosítva, ha azok majdnem mindenhol egyenlők; van â¨f,gâ©=â “f¯g\langle f, g\rangle = \int \bar{f} g, ami a CauchyâSchwarz egyenlőtlenség alapján konvergál. A felsorolt konkrét esetekben (és általában, ha XX egy lokálisan kompakt Hausdorff-tér) ezt a teret megkaphatjuk a kompakt támogatott folytonos függvények pozitív definit belső szorzatának kiegészítésével is.

négyzetesen integrálható félsűrűségek

• félsűrűségek kanonikus Hilbert-tér

tulajdonságok

alapok

Egy alapvető eredmény, hogy absztrakt módon a Hilbert terek mind azonos típusúak: Minden HH Hilbert-térnek van egy ortonormális bázisa, azaz egy olyan SâHS \subseteq H részhalmaz, amelynek inklúziós leképezése (szükségszerűen egyedileg) egy izomorfizmusra

a Hilbert terekből. Itt l 2(S)l^2(S) az a vektortér, amely az SS-ből a skalármezőre vonatkozó olyan xx függvényekből áll, hogy

véges számra konvertálódik; ezt úgy is megkaphatjuk, hogy az SS elemei formális lineáris kombinációinak vektortérét kiegészítjük egy olyan belső szorzóval, amelyet egyértelműen meghatároz a szabály

melyben δ uv\delta_{u v} a Kronecker-delta. Így l 2(S)l^2(S)-ben

(Ez az összeg a CauchyâSchwarz egyenlőtlenség révén konvergál.)

Az eredmény bizonyításában általában a választás axiómáját használja (általában Zorn lemma és kizárt közép formájában), és azzal egyenértékű. A szeparálható Hilbert-térre vonatkozó eredmény azonban csak függő választást igényel, és így a legtöbb iskola mércéje szerint konstruktív. Még függő választás nélkül is, explicit orthornormális bázisok bizonyos L 2(X)L^2(X)-re gyakran előállíthatók az azonosság közelítési technikáival, gyakran Gram-Schmidt-eljárással együtt.

Különösen, minden végtelen dimenziós szeparálható Hilbert-tér absztrakt izomorfikus l 2(â)l^2(\mathbb{N}).

CauchyâSchwarz egyenlőtlenség

A Schwarz egyenlőtlenség (vagy CauchyâÐÑнÑковÑкийâSchwarz egyenlőtlenség stb.) nagyon hasznos:

Ez valójában (legalább) két tétel: egy absztrakt tétel, hogy az egyenlőtlenség bármely Hilbert-térben érvényes, és egy konkrét tétel, hogy akkor érvényes, ha a belső szorzatot és a normát a fenti L 2(X)L^2(X) és l 2(S)l^2(S) példákban használt képletekkel határozzuk meg. A konkrét tételek olyan függvényekre is vonatkoznak, amelyek nem tartoznak a Hilbert-térbe, és így bizonyítják, hogy a belső szorzat konvergál, amikor a normák konvergálnak. (A konvergencia konstruktív következtetéséhez egy valamivel erősebb eredményre van szükség; ez Errett Bishop könyvében található.)

• megfelelt Hilbert-tér

• Hilbert C-csillagmodul, Hilbert-bimodul

• Kähler-vektortér

A Hilbert-térnek a kvantummechanikában szokásos ismertetései:

• John von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik.

  (német) A kvantummechanika matematikai alapjai. Berlin, Németország: Springer Verlag, 1932.

• George Mackey, The Mathematical Foundations of Quamtum Mechanics A

  Lecture-note Volume, ser. A matematikai fizika monográfia sorozat. Princeton university, 1963

• E. PrugoveÄki, Kvantummechanika a Hilbert-térben. Academic Press, 1971.