Idea

A gauge theory olyan klasszikus vagy olyan kvantumtérelméletet jelölhet, amelynek térkonfigurációi a differenciális kohomológiában (abeli vagy nem abeli) kokciklusok.

Hagyományos gauge theory

A közönséges gauge theory olyan kvantumtérelmélet, amelynek térkonfigurációi kapcsolattal rendelkező vektorkötegek.

Ezek közé tartoznak nevezetesen a részecskefizika standard modelljének három alapvető erejét hordozó mezők:

• A rendi elektromágnesesség mágneses töltések hiányában U(1)U(1)-principálkötegek összeköttetéssel rendelkező gauge-elmélete.

• A Yang-Mills elméletben (például a részecskefizika standard modelljében és a GUT-okban megjelenő) mezők kapcsolattal rendelkező vektorkötegek.

A többi példa a formális fizikai modellek közé tartozik.

• A Dijkgraaf-Witten-elmélet egy olyan gauge-elmélet, amelynek térkonfigurációi GG véges csoporthoz tartozó GG-főkötegek (ezekhez egyedi kapcsolat tartozik, így ebben az egyszerű esetben a kapcsolat nem extra adat).

A GG csoportot ezekben a példákban az elmélet gauge-csoportjának nevezzük.

Felsőbb és általánosított gauge-elméletek

A fenti példákban a gauge-mezők 11. fokú differenciális kohomológiában lévő cociklusokból álltak.

Több általánosságban a magasabb fokú gauge-elmélet olyan kvantumtérelmélet, amelynek térkonfigurációi általánosabb differenciális kohomológiában lévő cociklusok, például magasabb fokú Deligne-ciklusok vagy általánosabban más differenciális finomításokban, például a differenciális K-elméletben lévő cociklusok.

Ez az általánosítás tartalmaz kísérletileg látható fizikát, mint például

• A mágneses áram az elektromágnesességben egy köteggerbe kapcsolattal, egy Deligne-ciklus, amely egy 33. fokú Eilenberg-MacLane kohomológiában lévő kokciklust finomít: a mágneses töltés .

De a magasabb és általánosított mérőelméletek egész tornya vált láthatóvá a magasabb szupergravitációs elméletek tanulmányozásával,

• A Kalb-Ramond-mező egy köteggerbe kapcsolattal, egy Deligne-kociklus görbület 3-formával.

• A szupergravitációs C-mező egy Deligne-ciklus görbület 4-formával.

• A RR-mező egy cociklus a differenciális K-elméletben.

A gravitáció mint (nem)gauge-elmélet

A gravitáció első rendű megfogalmazásában a gravitáció elmélete is kicsit úgy néz ki, mint egy gauge-elmélet. Van azonban egy döntő különbség. Ami itt valójában történik, az a cartani geometria: a gravitáció mezeje kódolható egy vielbein-mezőben, nevezetesen egy ortogonális struktúrában az érintőkötegen, tehát egy G-struktúra példájaként, és ennek a G-struktúrának a torziós szabadsága kódolható egy segédkapcsolattal, nevezetesen egy cartani kapcsolattal, amelyet ebben az összefüggésben gyakran âspin-kapcsolatnakâ neveznek. Ezért, bár a Cartan-geometria megfogalmazásában a gravitációt a differenciálgeometria számos olyan összetevője írja le, amelyek a tiszta gaugeometriát is szabályozzák, ez mégsem teljesen ugyanaz. Különösen a Cartan-kapcsolatra van egy megkötés, amely a vielbein-mezők szempontjából az a megkötés, hogy a vielbein (amely a Cartan-kapcsolat része) nem degenerált, és így valóban egy âoldódó formaâ. Egy ilyen kényszer hiányzik az olyan “valódi” gauge-elméletből, mint a Yang-Mills-elmélet vagy a Chern-Simons-elmélet.

Tulajdonságok

Nem redundancia és lokalitás

Néha az a nézet fogalmazódik meg, hogy a gauge-szimmetria “csak egy redundancia” egy fizikai elmélet leírásában, például az, hogy a megfigyelhető értékek közül csak a gauge-invarianciáknak van fizikai jelentőségük.

Ez az állítás azonban

Anomáliák

Mágneses töltés jelenlétében (és akkor még a királis fermion anomáliák hiányában is?) a magasabb gauge-elméletek standard akciófüggvénye rosszul definiált lehet. A Green-Schwarz-mechanizmus egy híres jelenség a differenciális kohomológiában, amellyel egy ilyen kvantumanomália megszűnik a királis fermionok által adott anomáliával szemben.

A mérőterek és modelljeik listája

A következőkben megpróbálok áttekintést adni a fizikában használt mérőterek néhány gyűjteményéről, azok differenciális kohomológiával való modelljeiről és további részleteiről.

• Yang-Mills-mező

  • ciklus a legalacsonyabb fokú nemábeli differenciális kohomológiában

    • eredetileg a differenciális ?ech-ciklusok

      F^âH(X,B¯G) \hat F \in \mathbf{H}(X, \bar \mathbf{B} G)

      a Lie-algebra értékű formák groupoidjában lévő együtthatókkal,

      akkor hagyományosan a GG csoporttól függő kapcsolattal

  • mezőerősségű vektorkötegek szempontjából

    • G=U(1)G = U(1) – elektromágnesesség (lásd alább)

    • G=SU(2)ÃU(1)G = SU(2)\times U(1) – elektrogyenge erőtér erőssége

    • G=SU(3)G = SU(3) – erős nukleáris erőtér

  • paralell transzport: Wilson-vonalak

• elektromágneses mező

  • ciklus a 22. fokú közönséges differenciálkohomológiában

    • természetesen/történelmileg a Maxwell-Dirac prezentáció szempontjából megvalósult ciklikusként a ?echâDeligne-ciklusban
      F^âH(X,B¯U(1)) \hat F \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B} U(1))

  • mező erőssége: Az elektromos mező EE és a mágneses mező BB, lokálisan egy xâXx \pontban X-ben

    F=Eâ§dt+â 3B F = E \wedge d t + \star_3 B

  • az X=â 3\{0}X = \mathbb{R}^3\backslash \{0\}: mögöttes osztály az integrálkohomológiában cl(F^)âH(X,BU(1))âH 2(X,â¤)cl(\hat F) \in H(X,\mathbf{B} U(1)) \simeq H^2(X,\mathbb{Z}) a mágneses töltés

  • paralell transzport: Az elektromos töltésű kvantum 1-részecske

• Kalb-Ramond mező

  • kociklusa a 33. fokú közönséges differenciálkohomológiában

    • természetesen/történelmileg megvalósult

      • kociklusa a ?echâDeligne cocycle

        H^âH(X,B¯ 2U(1))\hat H \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}^2 U(1))

      • egy köteggerbe kapcsolattal

  • mezőerősséggel: HâΩ 3(X)H \in \Omega^3(X) a âHH-mezőâ â egy D-fólián ez a mágneses áram a Yang-Mills mezőnek a brane-en

  • párhuzamos transzport: gauge interaction piece of action functional of the electrically charged quantum 2-particle (the string).

• supergravitációs C-mező

  • ciklus a 44. fokú közönséges differenciálkohomológiában

    • természetileg/történelmileg úgy valósul meg, mint cociklus a ?echâDeligne-ciklus

      H^âH(X,B¯ 3U(1)) \hat H \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}^3 U(1))

      a szupergravitáció D’Auria-Fre megfogalmazását használva úgy is elképzelhető, mint egy Cartan-Ehresmann â-kapcsolat

  • mezőerősség által adott nemábeli differenciális cociklus: HâΩ 4(X)H \in \Omega^4(X) a âGG-mezőâ â a heterotikus szupergravitációban ez a csavart Kalb-Ramond-mezőhöz tartozó 5 membrán mágneses áram

  • párhuzamos transzport: gauge interaction piece of action functional of the electrically charged quantum 3-particle (the membrane).

• RR mező

  • kociklus a differenciális K-elméletben

    • nemtriviális Kalb-Ramond mező jelenlétében: cocycle in differential twisted K-theory

  • field strength: RR-formák

• szálkötegek a fizikában

• gauge

• gauge group

• gauge transformation, magasabb fokú gauge transzformáció

• BRST komplex, BV-BRST formalizmus

• ghost field, szellem-szellemtér

• távcső-fixálás, távcső-fixáló fermion, távcső-invariancia

• rácsos távcsőelmélet

• Gribov kétértelműség

• quiver távcsőelmélet

• nagyobb U(1)-gauge elmélet

  • nagyobb elektromos háttér töltéskapcsolás

• self-kettős magasabb mérőelmélet

• magasabb spin mérőelmélet

• kvantum anomália

  • Green-Schwarz-mechanizmus

• infinity-Chern-Simons elmélet

• szabad térelmélet

Általános

Általános tankönyvi beszámolók:

• Mike Guidry, Gauge Field Theories: An Introduction with Applications, Wiley 2008 (ISBN:978-3-527-61736-4)

• Mikio Nakahara, Section 10.5 of: Geometry, Topology and Physics, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)

Basics on fiber bundles in physics are recalled in

• Adam Marsh, Gauge Theories and Fiber Bundles: Definitions, Pictures, and Results (arXiv:1607.03089)

Egy bevezetés a gauge-elméletek kvantálásával kapcsolatos fogalmakba a

• Nicolai Reshitikhin, Lectures on quantization of gauge systems (pdf)

A gauge-rendszerek kvantálásának BV-BRST formalizmusáról szóló standard tankönyv a

• Marc Henneaux, Claudio Teitelboim, Quantization of Gauge Systems Princeton University Press, 1992

Az erről szóló átfogó előadásjegyzet a

• geometry of physics â perturbative quantum field theory.

Az abéliumos magasabb gauge theory tárgyalása a differenciális kohomológia szempontjából a

• Dan Freed, Dirac charge quantization and generalized differential cohomology

• Alessandro Valentino, Differential cohomology and quantum gauge fields (pdf)

• José Figueroa-O’Farrill, Gauge theory (web page)

• Tohru Eguchi, Peter Gilkey, Andrew Hanson, Gravitation, gauge theories and differential geometry, Physics Reports 66:6 (1980) 213â393 (pdf)

A gravitációval kapcsolatos vitához lásd még

• Edward Witten, Symmetry and Emergence (arXiv:1710.01791)

AQFT-ben

A gauge theory szokásos tárgyalása az algebrai kvantumtérelmélet (AQFT) összefüggésében többek között

• Franco Strocchi, Section 4 of Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory, Found.Phys. 34 (2004) 501-527 (arXiv:hep-th/0401143)

A görbült téridőre vonatkozó AQFT esetében az AQFT axiómáit magasabb geometria kontextusába kell emelni, hacsak a lokalitás nem sérül, lásd a következő kitételeket:

• Higher field bundles for gauge fields

• Alexander Schenkel, On the problem of gauge theories

  in locally covariant QFT_, előadás az Operator and Geometric Analysis on Quantum Theory Trento, 2014 (web)

Ezt állapította meg

• Marco Benini, Claudio Dappiaggi, Alexander Schenkel, Quantized Abelian principal connections on Lorentzian manifolds, Communications in Mathematical Physics 2013 (arXiv:1303.2515)

és az AQFT görbült téridőre vonatkozó axiómáinak stacky kontextusra való továbbfejlesztésének programja a gauge-elmélet befogadása érdekében a következő cikkeket tartalmazza:

• Marco Benini, Alexander Schenkel, Richard Szabo, Homotopy colimits and global observables in Abelian gauge theory (arXiv:1503.08839)

• Marco Benini, Alexander Schenkel, Quantum field theories on categories fibered in groupoids (arXiv:1610.06071)

• Marco Benini, Alexander Schenkel, Urs Schreiber, The stack of Yang-Mills fields on Lorentzian manifolds (arXiv:1704.01378)

Dualitások

A geometriai Langlands dualitással való kapcsolat kifejtése a

• Edward Frenkel, Gauge theory and Langlands duality (pdf)

History

A âgaugeâ and gauge transformation in metaphysics in

• Georg Hegel, §714 of Science of Logic, 1812

Hermann Weylâ történeti érvelése, amely a hosszúságegységek átméretezéséből motiválja a gauge-elméletet a fizikában, 1918-ban a

• Hermann Weyl, Raum, Zeit, Materie: Vorlesungen über die Allgemeine Relativitätstheorie, Springer Berlin Heidelberg 1923

  Weyl első matematikai fizikai könyvének, a Tér, idő és anyag (STM) (Raum â Zeit â Materie) kézirata, amelyet 1918 húsvétján adtak át a kiadónak (Springer), nem tartalmazta Weyl új geometriáját és javaslatát az UFT-re. Az 1917 nyári félévében a zürichi Műszaki Egyetemen (ETH) tartott előadás jegyzeteiből készült. Weyl csak a könyv 3. kiadásába (1919) vette fel új eredményeit. Az angol és francia változat (Weyl 1922b, Weyl 1922a), amelyet a negyedik, átdolgozott kiadásból (1921) fordítottak le, tartalmazta Weyl általánosított metrikájának rövid kifejtését és az elektromágnesesség skálamérő elméletének ötletét. (Scholz)

Vö.

• Erhard Scholz, H. Weylâs és E. Cartanâs proposals for infinitesimal geometry in the early 1920s (pdf)

Early surveys include

• John Iliopoulos, Progress in Gauge Theories, 1975 (spire:3000)

Gyors áttekintések közé tartozik

• Quigley, On the origins of gauge theory (pdf)

• Afriat, Weylâs gauge argument (pdf)

Az átfogóbb történeti leírások közé tartozik

• Lochlainn O’Raifeartaigh, The Dawning of Gauge Theory, Princeton University Press (1997)

• Lochlainn O’Raifeartaigh, Norbert Straumann, Gauge Theory: Historical Origins and Some Modern Developments Rev. Mod. Phys. 72, 1-23 (2000).

• Norbert Straumann, Early History of Gauge Theories and Weak Interactions (arXiv:hep-ph/9609230)

• Norbert Straumann, Gauge principle and QED, előadás a PHOTON2005 konferencián, Varsó (2005) (arXiv:hep-ph/0509116)