Ha egy polinomnak csak egy meghatározatlanja van (egyváltozós polinom), akkor a tagokat általában vagy a legmagasabb foktól a legalacsonyabb fokig (“csökkenő hatványok”) vagy a legalacsonyabb foktól a legmagasabb fokig (“növekvő hatványok”) írjuk. Egy n fokú egyváltozós polinom x-ben ekkor a fenti általános alakot veszi fel, ahol
cn ≠ 0, cn-1, …, c2, c1 és c0
állandók, a polinom együtthatói.
Itt a cnxn tagot vezető tagnak, cn együtthatóját pedig vezető együtthatónak nevezzük; ha a vezető együttható 1, akkor az egyváltozós polinomot monikusnak nevezzük.
PéldákEdit
- Komplex kvadratikus polinomok
TulajdonságokEdit
Multiplikatívan zártEdit
Az összes monikus polinom halmaza (egy adott (unitárius) A gyűrű felett és egy adott x változóra) szorzás alatt zárt, mivel két monikus polinom vezető tagjának szorzata a szorzatuk vezető tagja. Így a monikus polinomok az A polinomgyűrű multiplikatív félcsoportját alkotják. Tulajdonképpen, mivel az 1 konstans polinom monikus, ez a félcsoport még monoid is.
Részlegesen rendezettSzerkesztés
Az oszthatósági reláció korlátozása az összes monikus polinom halmazára (az adott gyűrű felett) egy részleges rend, és így ezt a halmazt poszétává teszi. Ennek oka az, hogy ha p(x) osztja q(x) és q(x) osztja p(x) két p és q monikus polinom esetén, akkor p-nek és q-nek egyenlőnek kell lennie. A megfelelő tulajdonság általában nem igaz a polinomokra, ha a gyűrű 1-től eltérő invertálható elemeket tartalmaz.
Polinomegyenletek megoldásaiSzerkesztés
A monikus polinomok és a hozzájuk tartozó monikus polinomegyenletek tulajdonságai egyébként döntően az A együtthatógyűrűtől függnek. Ha A egy mező, akkor minden nem nulla p polinomhoz pontosan egy monikus polinom q tartozik: p osztva a vezető együtthatójával. Ily módon tehát minden nem triviális p(x) = 0 polinomegyenlet helyettesíthető egy egyenértékű monikus egyenlet q(x) = 0-val. Például az általános valós másodfokú egyenlet
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}
(ahol a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}
)
helyettesíthető
x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle \ x^{2}+px+q=0}
,
azzal, hogy p = b/a és q = c/a. Így az egyenlet
2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle 2x^{2}+3x+1=0}
egyenértékű a monikus egyenlet
x 2 + 3 2 x + 1 2 = 0. {\displaystyle x^{2}+{\frac {3}{2}}}x+{\frac {1}{2}}=0.}
Az általános kvadratikus megoldási képlet ekkor a következő, kissé egyszerűsített formában áll elő:
x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) . {\displaystyle x={\frac {1}{2}}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}}\right).}
IntegralityEdit
Ha viszont az együtthatógyűrű nem mező, akkor lényegesebb különbségek vannak. Például egy egész számú együtthatóval rendelkező monikus polinomegyenletnek nem lehetnek olyan racionális megoldásai, amelyek nem egész számok. Így az egyenlet
2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle \ 2x^{2}+3x+1=0}
lehet olyan racionális gyöke, amely nem egész szám (és egyébként az egyik gyök -1/2); míg az egyenletek
x 2 + 5 x + 6 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+5x+6=0}
és
x 2 + 7 x + 8 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+7x+8=0}
csak egész vagy irracionális megoldásai lehetnek.
Az egész együtthatókkal rendelkező monikus polinomok gyökeit algebrai egészeknek nevezzük.
A monikus polinomegyenletek megoldásai egy integrál tartomány felett fontosak az integrál kiterjesztések és az integrálisan zárt tartományok elméletében, és így az algebrai számelméletben. Általában tegyük fel, hogy A egy integrál tartomány, és egyben a B integrál tartomány részgyűrűje. Tekintsük B C részhalmazát, amely azokból a B elemekből áll, amelyek monikus polinomegyenleteket elégítenek ki A felett:
C := { b ∈ B : ∃ p ( x ) ∈ A , amely monikus és olyan, hogy p ( b ) = 0 } . {\displaystyle C:=\{b\in B:\ létezik \,p(x)\in A\,,{\hbox{ amely monikus és olyan, hogy }}p(b)=0\}\}\,.}
A C halmaz tartalmazza A-t, mivel bármely a ∈ A kielégíti az x – a = 0 egyenletet. Továbbá bizonyítható, hogy C zárt összeadás és szorzás alatt. Így C B részgyűrűje. A C gyűrűt A B-ben lévő A-jának nevezzük; vagy csak A integrálzárásának, ha B A törtmezője; és C elemeit A felett integrálnak mondjuk. Ha itt A = Z {\displaystyle A=\mathbb {Z} }
(az egész számok gyűrűje) és B = C {\displaystyle B=\mathbb {C} }
(a komplex számok mezője), akkor C az algebrai egész számok gyűrűje.
IrreducibilitásSzerkesztés
Ha p prímszám, akkor a véges G F ( p ) {\displaystyle \mathrm {GF} mező feletti n fokú monikus irreducibilis polinomok száma (p)}
p elemmel egyenlő az N p ( n ) {\displaystyle N_{p}(n)} nyakláncszámláló függvénnyel.
.
Ha megszüntetjük azt a megkötést, hogy monikus legyen, akkor ez a szám ( p – 1 ) N p ( n ) {\displaystyle (p-1)N_{p}(n)} lesz.
