Metrikus tér, a matematikában, különösen a topológiában, olyan absztrakt halmaz, amelynek távolságfüggvénye, az úgynevezett metrika, bármely két pontja között nemnegatív távolságot határoz meg úgy, hogy a következő tulajdonságok érvényesek: (1) az első pont és a második pont közötti távolság akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha a pontok azonosak, (2) az első pont és a második pont közötti távolság egyenlő a második pont és az első pont közötti távolsággal, és (3) az első pont és a második pont közötti távolság és a második pont és egy harmadik pont közötti távolság összege meghaladja vagy egyenlő az első pont és a harmadik pont közötti távolsággal. Az utóbbi tulajdonságot háromszögegyenlőtlenségnek nevezzük. Maurice Fréchet francia matematikus 1905-ben kezdeményezte a metrikus terek tanulmányozását.
A valós számegyenesen szokásos távolságfüggvény metrikus, akárcsak az n-dimenziós euklideszi térben szokásos távolságfüggvény. Vannak egzotikusabb példák is, amelyek a matematikusokat érdeklik. Adott pontok tetszőleges halmaza esetén a diszkrét metrika azt adja meg, hogy egy pont távolsága önmagától egyenlő 0-val, míg bármely két különböző pont közötti távolság egyenlő 1-gyel. Az euklideszi síkon az úgynevezett taximetrika az (x, y) és a (z, w) pont közötti távolságot úgy határozza meg, hogy |x – z| + |y – w|. Ez a “taxitávolság” adja meg az (x, y) és (z, w) közötti, vízszintes és függőleges vonalszakaszokból felépített útvonal minimális hosszát. Az analízisben számos hasznos metrika létezik korlátos valós értékű folytonos vagy integrálható függvények halmazaira.
A metrika tehát a szokásos távolság fogalmát általánosítja általánosabb környezetekre. Továbbá, egy metrika egy X halmazon meghatározza a nyitott halmazok gyűjteményét, vagy topológiát X-en, amikor X egy U részhalmazát akkor és csak akkor nyilvánítjuk nyitottnak, ha X minden p pontjára van egy olyan pozitív (esetleg nagyon kicsi) r távolság, hogy X minden olyan pontjának halmaza, amelynek távolsága kisebb, mint r a p-től, teljesen benne van U-ban. Ily módon a metrikus terek a topológiai terek fontos példái.
Egy metrikus teret teljesnek mondunk, ha minden olyan pontsorozat, amelyben a feltételek végül páronként tetszőlegesen közel vannak egymáshoz (ún. Cauchy-sorozat), konvergál a metrikus tér egy pontjához. A racionális számok szokásos metrikája nem teljes, mivel a racionális számok egyes Cauchy-sorozatai nem konvergálnak racionális számokhoz. Például a 3, 3,1, 3,14, 3,141, 3,1415, 3,14159, … racionális számok sorozata π-hez konvergál, ami nem racionális szám. A valós számok szokásos metrikája azonban teljes, ráadásul minden valós szám a racionális számok Cauchy-sorozatának határértéke. Ebben az értelemben a valós számok a racionális számok teljességét alkotják. Ennek a ténynek a bizonyítása, amelyet Felix Hausdorff német matematikus adott 1914-ben, általánosítható annak bizonyítására, hogy minden metrikus térnek van ilyen teljessége.