Biográfia
Leopold Kronecker szülei jómódúak voltak, apja, Isidor Kronecker sikeres üzletember volt, míg anyja Johanna Prausnitzer, aki szintén jómódú családból származott. A családok zsidó vallásúak voltak, ezt a vallást Kronecker egészen egy évvel a halála előttig megtartotta, amikor is áttért a kereszténységre. Kronecker szülei magántanárokat alkalmaztak, akik egészen addig tanították, amíg be nem lépett a liegnitz-i gimnáziumba, és ez a korrepetálás nagyon jó alapot adott a műveltségének.
Kroneckert a liegnitz-i gimnáziumban Kummer tanította matematikára, és Kummernek köszönhető, hogy Kronecker érdeklődni kezdett a matematika iránt. Kummer azonnal felismerte Kronecker matematikai tehetségét, és jóval az iskolai elvárásokon túl is vitte őt, kutatásokra ösztönözve őt. Zsidó neveltetése ellenére Kronecker a gimnáziumban lutheránus hitoktatásban részesült, ami mindenképpen azt mutatja, hogy szülei vallási kérdésekben nyitottak voltak. 1841-ben Kronecker a berlini egyetem hallgatója lett, ahol Dirichlet és Steiner mellett tanult.
Kronecker 1841-ben a berlini egyetem hallgatója lett. Nem szorítkozott azonban a matematika tanulására, mert más témákat is tanulmányozott, például csillagászatot, meteorológiát és kémiát. Különösen érdekelte a filozófia, tanulmányozta Descartes, Leibniz, Kant, Spinoza és Hegel filozófiai műveit. Miután 1843 nyarát a bonni egyetemen töltötte, ahová inkább a csillagászat, mint a matematika iránti érdeklődése miatt ment, 1843-44 téli félévére a breslaui egyetemre ment. Az ok, amiért Breslauba ment, minden bizonnyal a matematika iránti érdeklődése volt, mert újra régi iskolai tanáránál, Kummernél akart tanulni, akit 1842-ben neveztek ki egy tanszékre Breslauban.
Kronecker egy évet töltött Breslauban, mielőtt az 1844-45-ös téli szemeszterre visszatért Berlinbe. Berlinbe visszatérve Dirichlet felügyelete alatt dolgozott az algebrai számelméletről szóló doktori disszertációján. A komplex egységekről című értekezést 1845. július 30-án nyújtotta be, és augusztus 14-én letette a szükséges szóbeli vizsgát. Dirichlet véleményezte a dolgozatot, mondván, hogy abban Kronecker megmutatta:-
… szokatlan elmélyültséget, nagy szorgalmat és a magasabb matematika jelenlegi állásának pontos ismeretét.
Ez meglepő lehet sok doktorandusz számára. hallgatók számára, hogy Kroneckert a legkülönbözőbb témákról faggatták szóbeli védésén, többek között a valószínűségelméletről a csillagászati megfigyelésekre alkalmazva, a határozott integrálok, sorozatok és differenciálegyenletek elméletéről, valamint a görög nyelvről és a filozófia történetéről.
Jakobinak egészségügyi problémái voltak, amelyek miatt el kellett hagynia Königsberget, ahol tanszéket viselt, és vissza kellett térnie Berlinbe. Eisenstein, akinek szintén rossz volt az egészsége, ez idő tájt tartott előadásokat Berlinben, és Kronecker mindkét férfit jól megismerte. Az, hogy Kronecker matematikai érdeklődése később milyen irányt vett, sok köze volt Jacobi és Eisenstein ez idő tájt gyakorolt hatásának. Amikor azonban már úgy tűnt, hogy tudományos karrierbe kezd, Kronecker elhagyta Berlint, hogy családi ügyekkel foglalkozzon. Segített anyja bátyjának banküzletét vezetni, és 1848-ban feleségül vette e nagybátyja lányát, Fanny Prausnitzert. Egy családi birtokot is kezelt, de még így is talált időt arra, hogy továbbra is matematikával foglalkozzon, bár ezt kizárólag a saját örömére tette.
Kroneckernek minden bizonnyal nem kellett fizetett munkát vállalnia, hiszen ekkorra már jómódú ember volt. A matematika élvezete azonban azt jelentette, hogy amikor 1855-ben megváltoztak a körülmények, és már nem volt szüksége arra, hogy a Liegnitz melletti birtokon éljen, visszatért Berlinbe. Nem kívánt egyetemi állást, inkább részt akart venni az egyetem matematikai életében, és a többi matematikussal kölcsönhatásban kutatni. 1855-ben Kummer Berlinbe jött, hogy betöltse a Dirichlet Göttingenbe távozásával megüresedett állást.
1855-ben Kummer Berlinbe érkezett. Borchardt 1848 óta tartott előadásokat Berlinben, és 1855 végén Crelle halála után átvette a Crelle folyóirat szerkesztését. 1856-ban Weierstrass jött Berlinbe, így egy éven belül, miután Kronecker visszatért Berlinbe, Kummer, Borchardt, Weierstrass és Kronecker figyelemre méltó csapata állt össze Berlinben.
Természetesen mivel Kronecker nem rendelkezett egyetemi kinevezéssel, ebben az időben nem tartott előadásokat, de figyelemre méltóan aktív kutatómunkát végzett, gyors egymásutánban számos munkát publikálva. Ezek a számelméletről, az elliptikus függvényekről és az algebráról szóltak, de ami még fontosabb, hogy feltárta az e témák közötti összefüggéseket. Kummer 1860-ban javasolta Kronecker megválasztását a Berlini Akadémiára, és a javaslatot Borchardt és Weierstrass is támogatta. 1861. január 23-án Kroneckert beválasztották az Akadémiába, és ez meglepő előnnyel járt:
A Berlini Akadémia tagjainak előadási joga volt a berlini egyetemen. Bár Kronecker nem állt az egyetem vagy más szervezet alkalmazásában, Kummer mégis azt javasolta, hogy Kronecker éljen az egyetemen való előadási jogával, és ezt 1862 októberétől kezdve meg is tette. A témák, amelyekről előadásokat tartott, nagyon is kapcsolódtak a kutatásaihoz: a számelmélet, az egyenletek elmélete, a determinánsok elmélete és az integrálok elmélete. Előadásaiban :-
Megpróbálta egyszerűsíteni és finomítani a meglévő elméleteket, és új szemszögből bemutatni azokat.
A legjobb diákok számára előadásai igényesek, de ösztönzőek voltak. Az átlagos diákok körében azonban nem volt népszerű tanár :-
Kronecker nem vonzott nagyszámú hallgatót. Hallgatói közül csak kevesen voltak képesek követni gondolatainak szárnyalásait, és csak kevesen maradtak kitartóan a félév végéig.
Berlin vonzó volt Kronecker számára, olyannyira, hogy amikor 1868-ban felajánlották neki a göttingeni matematika tanszéket, visszautasította. Elfogadta viszont az olyan kitüntetéseket, mint a párizsi akadémiára való megválasztása abban az évben, és sok éven át jó kapcsolatokat ápolt berlini és máshol élő kollégáival. Ahhoz, hogy megértsük, miért kezdtek megromlani a kapcsolatok az 1870-es években, közelebbről meg kell vizsgálnunk Kronecker matematikai hozzájárulásait.
Már jeleztük, hogy Kronecker elsősorban az egyenletek elméletében és a magasabb algebrában működött közre, főbb hozzájárulásait az elliptikus függvények, az algebrai egyenletek elmélete és az algebrai számok elmélete terén nyújtotta. Az általa vizsgált témákat azonban korlátozta az a tény, hogy hitt abban, hogy az egész matematika csak egész számokat és véges számú lépést tartalmazó érvekre redukálható. Kronecker jól ismert a következő megjegyzéséről:
Isten teremtette az egész számokat, minden más az ember műve.
Kronecker úgy vélte, hogy a matematikának csak véges számokkal és véges számú művelettel kell foglalkoznia. Ő volt az első, aki kétségbe vonta a nem konstruktív létbizonyítások jelentőségét. Úgy tűnik, hogy Kronecker az 1870-es évek elejétől kezdve ellenezte az irracionális számok, a felső és alsó határértékek és a Bolzano-Weierstrass-tétel használatát, mivel ezek nem konstruktív jellegűek. Matematikafilozófiájának másik következménye az volt, hogy Kronecker számára transzcendens számok nem létezhetnek. 1870-ben Heine a Crelle’s Journalban publikált egy cikket A trigonometrikus sorozatokról, de Kronecker megpróbálta rávenni Heinét, hogy vonja vissza a cikket. 1877-ben Kronecker ismét megpróbálta megakadályozni Cantor munkájának közzétételét a Crelle’s Journalban, de nem a Cantor elleni személyes érzelmei miatt (amit Cantor egyes életrajzírói sugalltak), hanem inkább azért, mert Kronecker úgy vélte, hogy Cantor dolgozata értelmetlen, mivel olyan matematikai objektumokra vonatkozó eredményeket bizonyított, amelyek Kronecker szerint nem léteztek. Kronecker tagja volt a Crelle’s Journal szerkesztőségének, ezért különösen nagy befolyása volt arra, hogy mi jelent meg ebben a folyóiratban. Miután Borchardt 1880-ban meghalt, Kronecker szerkesztőként átvette a Crelle’s Journal irányítását, és egyre nagyobb befolyása volt arra, hogy milyen dolgozatok jelenjenek meg.
A berlini matematikai szemináriumot 1861-ben Kummer és Weierstrass közösen alapították, és amikor Kummer 1883-ban nyugdíjba vonult, Kronecker lett a szeminárium társigazgatója. Ez növelte Kronecker befolyását Berlinben. Kronecker nemzetközi hírneve is elterjedt, és 1884. január 31-én a londoni Royal Society külföldi tagjává választotta. A német matematikán belül is nagy befolyással bírt :-
A külföldi tudósokkal számos külföldi utazása során és azzal, hogy berlini otthonának vendégszeretetét kiterjesztette rájuk, más kapcsolatokat is kialakított. Emiatt gyakran kérték ki a tanácsát matematikai professzori állások betöltése kapcsán mind Németországban, mind máshol; ajánlásai valószínűleg ugyanolyan jelentősek voltak, mint egykori barátja, Weierstrass ajánlásai.
Bár Kronecker matematikáról vallott nézetei az 1870-es és 1880-as évek folyamán jól ismertek voltak kollégái előtt, csak 1886-ban hozta nyilvánosságra ezeket a nézeteket. Ebben az évben a Dedekind, Cantor és Heine által használt irracionális számok elmélete ellen érvelt, megadva azokat az érveket, amelyekkel ellenezte:-
… a különböző fogalmak bevezetését, amelyek segítségével az utóbbi időkben gyakran megkísérelték (de először Heine) az “irracionálisok” általános felfogását és megállapítását. Még a végtelen sorozat fogalma is, például egy olyan sorozaté, amely a változók meghatározott hatványai szerint növekszik, véleményem szerint csak azzal a fenntartással megengedhető, hogy minden különleges esetben, a tagok (vagy együtthatók) felépítésének aritmetikai törvényei alapján … bizonyos feltevéseket kell bizonyítani, amelyek a véges kifejezésekhez hasonlóan a sorozatokra is érvényesek, és amelyek így a véges sorozat fogalmán túli kiterjesztést valóban szükségtelenné teszik.”
Lindemann 1882-ben bebizonyította, hogy π transzcendens, Kronecker pedig egy 1886-ban tartott előadásában megdicsérte Lindemannt a szép bizonyításért, de – állítása szerint – olyanért, amely semmit sem bizonyít, mivel transzcendens számok nem léteznek. Kronecker tehát következetes volt érveiben és meggyőződésében, de sok matematikus, aki büszke volt a nehezen megszerzett eredményeire, úgy érezte, hogy Kronecker megpróbálja megváltoztatni a matematika irányát, és kiírja kutatási irányvonalát a jövő fejlődéséből. Kronecker 1887-ben az Über den Zahlbergriff Ⓣ című művében kifejtette programját, amely azon alapult, hogy csak olyan matematikai objektumokat vizsgáljon, amelyeket véges számú művelettel lehet az egész számokból felépíteni.
Kronecker személyiségének másik jellemzője volt, hogy hajlamos volt személyesen is összeveszni azokkal, akikkel matematikailag nem értett egyet. Természetesen, tekintettel arra a meggyőződésére, hogy csak végesen konstruálható matematikai objektumok léteznek, teljesen ellenezte Cantor fejlődő halmazelméleti elképzeléseit. Nemcsak Dedekind, Heine és Cantor matematikája volt elfogadhatatlan e gondolkodásmód számára, és Weierstrass is úgy érezte, hogy Kronecker megpróbálja meggyőzni a matematikusok következő generációját arról, hogy Weierstrass analízissel kapcsolatos munkássága értéktelen.
Kronecker nem töltött be hivatalos pozíciót Berlinben, amíg Kummer 1883-ban nyugdíjba nem ment, amikor is kinevezték a tanszékre. De 1888-ra Weierstrass úgy érezte, hogy nem tud tovább együtt dolgozni Kroneckerrel Berlinben, és úgy döntött, hogy Svájcba megy, de aztán, felismerve, hogy Kronecker erős befolyással lesz utódja kiválasztására, úgy döntött, hogy Berlinben marad.
Kronecker nagyon alacsony termetű volt, és rendkívül öntudatos a magasságával kapcsolatban. Egy példa arra, hogy Kronecker hogyan reagált, 1885-ben történt, amikor Schwarz egy üdvözletet küldött neki, amely a következő mondatot tartalmazta:-
Aki nem tiszteli a Kisebbet, az nem méltó a Nagyobbra.
Ezzel Schwarz a kis ember Kroneckerrel és a nagy ember Weierstrassal viccelődött. Kronecker azonban nem látta a megjegyzés vicces oldalát, és soha többé nem volt kapcsolata Schwarzzal (aki Weierstrass tanítványa és Kummer veje volt). Mások azonban több tapintatot tanúsítottak, és például Helmholtznak, aki 1871-től berlini professzor volt, sikerült jóban maradnia Kroneckerrel.
A Deutsche Mathematiker-Vereinigung 1890-ben alakult meg, és az egyesület első ülését 1891 szeptemberében Halle-ban rendezték meg. A Cantor és Kronecker közötti elkeseredett ellentét ellenére Cantor meghívta Kroneckert, hogy a német matematika egyik rangidős és legkiemelkedőbb alakja iránti tisztelet jeleként szólaljon fel ezen az első ülésen. Kronecker azonban soha nem szólalt fel a találkozón, mivel felesége nyáron egy hegymászóbalesetben súlyosan megsérült, és 1891. augusztus 23-án meghalt. Kronecker csak néhány hónappal élte túl feleségét, és 1891 decemberében halt meg.
Nem szabad azt gondolnunk, hogy Kronecker matematikával kapcsolatos nézetei teljesen excentrikusak voltak. Bár igaz, hogy korának legtöbb matematikusa nem értett volna egyet ezekkel a nézetekkel, és valóban a legtöbb matematikus ma sem értene velük egyet, mégsem tették félre őket. Kronecker elképzeléseit Poincaré és Brouwer fejlesztette tovább, akik különös hangsúlyt fektettek az intuícióra. Az intuitivizmus azt hangsúlyozza, hogy a matematika elsőbbséget élvez a logikával szemben, a matematika tárgyait a matematikus fejében konstruálja és működteti, és lehetetlen a matematikai tárgyak tulajdonságait pusztán egy sor axióma felállításával meghatározni.