A matematikához való hozzájárulás
Napier szabadidejének nagy részét a matematika tanulmányozásának szentelte, különösen a számítást megkönnyítő módszerek kidolgozásának, és ezek közül a legnagyobbal, a logaritmusokkal kapcsolatos a neve. Valószínűleg már 1594-ben elkezdett dolgozni a logaritmusokon, és fokozatosan kidolgozta számítási rendszerét, amelynek segítségével a gyökök, szorzatok és hányadosok gyorsan meghatározhatók a bázisként használt fix szám hatványait mutató táblázatokból.
Az ehhez a nagyhatású matematikai találmányhoz való hozzájárulását két értekezés tartalmazza: Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (A logaritmusok csodálatos kánonjának leírása), amely 1614-ben jelent meg, és Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio (A logaritmusok csodálatos kánonjának felépítése), amely két évvel a halála után jelent meg. Az előbbiben felvázolta azokat a lépéseket, amelyek a találmányához vezettek.
A logaritmusok célja a számítások egyszerűsítése volt, különösen a szorzásé, amire például a csillagászatban volt szükség. Napier felfedezte, hogy e számítások alapja egy aritmetikai haladás – egy olyan számsorozat, amelyben minden számot egy geometriai haladást követve úgy kapunk a közvetlenül előtte lévőből, hogy megszorozzuk egy állandó tényezővel, amely nagyobb lehet az egységnél (pl, a 2, 4, 8, 16 … ) vagy kisebb, mint az egység (pl. 8, 4, 2, 1, 1/2 … ).
A Descriptio-ban a logaritmusok természetének ismertetése mellett Napier a logaritmusok felhasználásának ismertetésére szorítkozott. Megígérte, hogy egy későbbi művében elmagyarázza felépítésük módszerét. Ez volt a Constructio, amely azért érdemel figyelmet, mert oldalain szisztematikusan használja a tizedesvesszőt a szám tört és egész részének elválasztására. A tizedes törteket már 1586-ban bevezette Simon Stevin flamand matematikus, de az ő jelölése nehézkes volt. A pont elválasztóként való használata gyakran előfordul a Constructióban. Joost Bürgi svájci matematikus 1603 és 1611 között önállóan feltalálta a logaritmusok rendszerét, amelyet 1620-ban publikált. Napier azonban korábban dolgozott a logaritmusokon, mint Bürgi, és a korábbi, 1614-es publikációs dátuma miatt elsőbbséget élvez.
Noha Napier logaritmusok feltalálása minden más matematikai munkáját beárnyékolja, más matematikai hozzájárulásokat is tett. 1617-ben adta ki a Rabdologiae, seu Numerationis per Virgulas Libri Duo (Tanulmány a jósrudakról, avagy két könyv a számolásról rudak segítségével, 1667) című művét; ebben leírta a Napier-csontok néven ismert kis rudak szorzásának és osztásának zseniális módszereit, egy olyan eszközt, amely a tolózár elődje volt. A gömbi trigonometriához is jelentősen hozzájárult, különösen azzal, hogy a trigonometriai összefüggések kifejezésére használt egyenletek számát 10-ről 2 általános állításra csökkentette. Neki tulajdonítanak bizonyos trigonometriai összefüggéseket is – a Napier-féle analógiákat -, de valószínűnek tűnik, hogy ezekben Henry Briggs angol matematikusnak is része volt.
Joseph Frederick Scott