Morrow hokis családból származik. Édesapja, Dave Morrow a World Hockey Association Indianapolis Racers csapatában játszott.
A Pittsburgh Penguins a 2011-es NHL draft első körében (23. szám) választotta ki Morrow-t, de a 2011. augusztus 3-i szerződtetése után nem játszott mérkőzést a csapatban.
Még egy szezont játszott a Western Hockey League-ben szereplő Portlandben, ahol 62 mérkőzésen 64 pontot (17 gól, 47 assziszt) szerzett. Morrow a 2012-13-as szezon nagy részét az amerikai jégkorongligás Wilkes-Barre/Scranton csapatánál töltötte, mielőtt 2013. március 24-én elcserélték a Dallas Starshoz.
2013. július 4-én Morrow-t a Boston Bruins megszerezte egy nyolc játékosból álló csere részeként, amellyel a csatár Tyler Seguin a Starshoz került. Morrow 2014. október 30-án debütált az NHL-ben a Bruinsban, és november 24-én a Penguins ellen megszerezte első NHL-gólját. Miután azonban még három mérkőzésen játszott, a szezon hátralévő részére az AHL-es Providence-be került.
Morrow 2015-16-ban 33, 2016-17-ben pedig 17 mérkőzést játszott a Bruinsban, mielőtt 2017. július 1-jén szabadügynökként aláírt a Montreal Canadienshez. Legjobb támadószezonját futotta az NHL-ben (öt gól, hat assziszt) 38 mérkőzésen, mielőtt 2018. február 26-án megszerezte a Winnipeg Jets.
Morrow 18 mérkőzésen öt pontot (egy gól, négy assziszt) szerzett a Jetsben. A Stanley Kupa rájátszásában 17 mérkőzésükből hatszor öltözött be, többek között ő szerezte a Minnesota Wild elleni győztes gólt a nyugati konferencia első fordulójának 1. mérkőzésén.
A Jets 2018. június 26-án egyéves szerződést kötött Morrow-val.
MEGJEGYZÉSEK & ÁTIGAZOLÁSOK
- WHL West First All-Star Team (2012)
- Traded by Dallas by Pittsburgh with Pittsburgh’s 5th round pick (Matej Paulovic) in 2013 NHL Draft for Brenden Morrow and Minnesota’s 3rd round pick (previously acquired, Pittsburgh selected Jake Guentzel) in 2013 NHL Draft, március 24, 2013.
- A Dallas Loui Erikssonnal, Reilly Smith-szel és Matt Fraserrel együtt elcserélte Bostonba Tyler Seguinért, Rich Peverley-ért és Ryan Buttonért, 2013. július 4.
- Szabadügynökként aláírt a Montreal, 2017. július 1.
- Elcserélte a Montreal a Winnipeghez a 2018-as NHL Draft 4. körös választási jogáért, 2018. február 26.
- Szabadügynökként aláírt a New Jersey, 2019. október 6.
.