A New Horizons űrszonda közeledik a Plútóhoz, és remek felvételeket készít. Az alábbi animáció a Plútót és a Charont mutatja, amint egymás körül keringenek.
Ha egy bolygónak (vagy törpebolygónak) van egy műholdja, akkor az objektum mozgását felhasználhatjuk a bolygó tömegének meghatározásához. Ez nem túl bonyolult. Valójában használjuk a fenti animációt a Plútó tömegének megbecslésére. Oké, csak egy dologra van szükségünk, ami nem szerepel a videóban. Tudnunk kell a Charon és a Plútó távolságát. Tulajdonképpen, ha ismerném a kamera látószögét, akkor a két objektum közötti szögtávolságból meg tudnám állapítani a keringési távolságot. Ehhez a példához azonban csak utánanézek ennek az értéknek, és 1,957 x 107 m-es Plútó-Charon távolságot használok.
Ezzel a Plútó-Charon videóval kapcsolatban még néhány megjegyzés.
- A képsorozat a Plútót és a Charont mutatja, ahogy az űreszköz közeledik a két objektumhoz. Ez azt jelenti, hogy a távolság skálája minden egyes képkockán változik.
- Ez a videó a Charon-Plútó pálya tömegközéppontjához viszonyítva készült. Látható, hogy a Plútó és a Charon egy közös középpont körül kering.
- Nem teljesen merőleges szögből nézzük a pályát. Ez azt jelenti, hogy a Charon látszólag nem kör alakban mozog (pedig lényegében az).
Az alapfizika
Ezzel a problémával kapcsolatban valójában csak két fizikai alapelvre van szükségünk – a gravitációs erőre és a körben mozgó tárgy gyorsulására. Kezdjük a gravitációval.
A gravitációs kölcsönhatás modellje azt mondja, hogy van egy vonzóerő, amely tömeggel rendelkező tárgyakat vonz. Ennek az erőnek a nagysága arányos a két kölcsönhatásba lépő tárgy tömegének szorzatával és fordítottan arányos a tárgyak közötti távolság négyzetével. Ennek az erőnek a nagyságát így tudom leírni:
A G csak egy konstans, ezért ne foglalkozzunk vele. De van még egy dolog, ami fontos. A gravitációs erő mindig egymáshoz húzza a két objektumot, és a másik objektum irányába hat.”
A másik fontos gondolat, hogy vegyük figyelembe egy körben mozgó objektum gyorsulását – igen, a Plútó és a Charon is körben mozog egy közös középpont körül. Íme egy diagram (de nem méretarányos).
Minden tárgy, amely körben mozog (akár állandó sebességgel is), gyorsulni fog. Ennek a gyorsulásnak az iránya a kör középpontja felé mutat, és nagysága függ a szögsebességtől és a kör sugarától is. Ez a gyorsulás a következőképpen írható fel:
Itt az ω az objektum szögsebessége radián/másodpercben. De gondolom, van még egy fizikai dolog, amit meg kell nézni: az erő és a gyorsulás kapcsolata. Egyszerűen minél nagyobb a tárgyra ható nettó erő, annál nagyobb a gyorsulás.
Most, hogy mindezt összerakjuk. Az erő a gravitációs erő, a gyorsulás pedig a körkörös mozgásból adódik. Van egy bökkenő. Ha ezt a Charon mozgására írom ki, akkor a gravitációs erő a Charon és a Plútó közötti távolságot használja, de a gyorsulás a Charon és a körmozgás középpontja közötti távolságot. Csak hogy világos legyen, az objektumok közötti távolságot r-nek fogom nevezni, a Charon körpályájának sugara pedig rc lesz. Továbbá, mivel a gravitációs erő (az egyetlen erő) ugyanabba az irányba hat, mint a gyorsulás, ezt skaláris egyenletként is fel tudom írni.
A Charon tömege eltörlődik, és így meg tudom oldani a Plútó tömegét.
Ezért már csak a két távolságra és a Charon pályájának szögsebességére van szükségem.
Értékek keresése
Már mondtam, hogy megnézem a Plútó és a Charon távolságát. Szükségem van azonban a Charon és a keringési kör középpontjának távolságára. Az animáció képkockáit átugorva megtalálom azt, amelyiken a Charon és a Plútó a legtávolabb van egymástól – ekkor látom a pálya teljes méretét (nincs perspektíva). Ezt a képet és a Plútó és a Charon távolságát felhasználva 1,69 x 107 m körkörös pályasugarat kapok.
Most már csak a pálya szögsebességére van szükségem. Ha kiválasztok egy olyan képkockát, amikor a Charon majdnem a Plútó felett van, majd amikor majdnem alatta, akkor az egy fél pálya lenne. Ha megnézzük az egyes képkockák időbélyegzőit, akkor ez körülbelül 3,2 napot (276 480 másodpercet) adna. Ez a szögsebességet így adná meg:
A G = 6,67 x 10-11 N*m2/kg2 gravitációs állandóval számolva minden értékemet be tudom tenni a tömeg kiszámításához. A számokat összemorzsolva a Plútó tömegét 1,24 x 1022 kg-ra kapom. BUMM! Ez elég közel van a 22Wikipedián szereplő 1,3 x 1022-es értékhez. Ezt elég közelinek tartom ahhoz, hogy győzelemnek számítson.
Mi a helyzet a Charon tömegével? Ugyanezt az ötletet és a Plútó keringési távolságát használhatod a Plútó pályájára, és kapsz egy tömegbecslést. Ez egy házi feladat neked.
Numerikus modell
Csak a szórakozás kedvéért itt van egy numerikus modell, amely a Plútó és a Charon mozgását mutatja.
A fenti kód a trinket.io oldalon található. Ez azt jelenti, hogy a kódot megnézheted ÉS módosíthatod is. Próbáld meg megváltoztatni a bolygók tömegét, és nézd meg, mi történik. Vedd észre, hogy ha a két bolygó kezdeti lendülete nem adódik össze a nullvektorral, akkor a tömegközéppont nem marad mozdulatlan. Ez szórakoztató dolog.